Expression approximative simple au voisinage de X

[Khove]

Bonjour,

Je ne suis plus étudiant, mais de temps en temps il me plaît de reprendre des petits exercices appliqués.

Voici mon problème, je ne parviens pas à m'expliquer la solution donnée à l'énoncé suivant :
Trouver une expression approximative de

f(x)= x - 1/x au voisinage de x=1

La solution qui est donnée est :

df(x) = ( 1 + 1/x² ) dx. En remplaçant les différentielles par des petites variations au voisinage de x=1 , on obtient, f(x) - f(1) ~ 2(x-1).

Je ne retrouve pas ce résultat... Pourriez-vous m'aider ?

Merci à vous,
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[minushabens]

Tu peux écrire x=1+y et développer 1/(1+y) en série.

[eudea-panjclinne]

On pose x=1+h, avec h proche de 0.
f(x)=f(1+h)
f(x)=1+h-1/(1+h)
Or, 1/(1+h)=1-h+hxEp(h), avec Ep(h) tendant vers 0 avec h. (*)
f(x)=...
f(x)=...

(*) On a 1=(1+h(1-h)+h^2
on divise par (1+h)
1/(1+h)=1-h+h^2/(1+h)

[Khove]

Merci pour vos réponses.
Dommage pour les 3 petits points, heureusement que dans un premier temps la réponse fut donnée dans son intégralité ce qui m'a permis de comprendre.

Merci,

[A voir en vidéo sur Futura]

[eudea-panjclinne]

C'est un peu l'esprit du forum de ne pas donner d'emblée la réponse et de laisser chercher le demandeur... j'ai un peu oublié en écrivant la réponse.