Série entière

[mehdi_128]

Bonjour,

Je suis bloqué depuis plusieurs jours sur cet exo j'arrive pas à comprendre j'en ai marre j'ai plus envie d'étudier quand je comprends pas quelque chose.

Soit une fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle ouvert contenant . On rappelle que est développable en série entière au voisinage de s'il existe un nombre réel et une suite de nombre réels tel que : et :



Le rayon de convergence est :

1/ Démontrer que la fonction est développable en série entière au voisinage de 0. Préciser son développement et donner le rayon de convergence.

Le développement en série entière me pose pas de souci on trouve aisément que :



Mais pour le rayon de convergence je comprends rien. Un corrigé donne :

Comme cette série converge sur , son rayon de convergence est
Pour cette série diverge grossièrement donc

Je n'arrive pas à comprendre comment démontrer et
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[albanxiii]

Bonjour,

Comme cette série converge sur , son rayon de convergence est
Pour cette série diverge grossièrement donc

Je n'arrive pas à comprendre comment démontrer et

C'est fait dans les deux lignes qui précèdent votre question !
Reprenez la définition basique du rayon de convergence si cela ne vous saute pas aux yeux.

[mehdi_128]

Oui mais j'essaie de comprendre d'où ça sort

on a la série qui converge donc son terme générale converge vers 0 mais toute suite convergente est bornée donc la suite est bornée.

Or :

Si je note :

On a :

Et là je bloque pour montrer que

[ansset]

Le rayon de convergence est :

C'est bien le sup et pas le max .
Hors, le sup de ]-1,1[ vaut 1.
la série converge au moins sur l'intervalle ]-1,1[, dont le sup ( de l'intervalle ) vaut 1.
donc ( avant de regarder au delà de 1 ) à minima
mais par ailleurs, elle est globalement divergente pour r=1 ( le terme général ne tend pas vers 0 )
d'où

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

" grossièrement" et pas "globalement" ( lapsus )

[azizovsky]

une petite idée: soit ,application de la formule d'une progression géométrique à :


pour un terme de cette série : avec d'après les données ..., je te laisse le reste...

ps: être professionnel dans un métier, c'est être astucieux .

[azizovsky]

une petite idée: soit ,application de la formule d'une progression géométrique à :


pour un terme de cette série :

mal carrelé .....

[mehdi_128]

@Ansset
Vous allez trop vite pour moi j'essaie de comprendre en profondeur d'où vient le résultat.

J'en étais à :



Posons :

On a :

On a un théorème qui dit que pour des parties de : alors

Donc : d'où la première inégalité je réfléchis à la seconde.

[mehdi_128]

Pour la série diverge grossièrement car ne tend pas vers 0 donc : la suite est bien bornée car

Ainsi :

Par ailleurs, pour on a :
Cette suite diverge vers donc elle n'est pas majorée elle n'est donc pas bornée.

Ainsi 1 est un majorant de A, mais le plus petit majorant est inférieur à 1 donc : soit

[ansset]

Oui, c'est bien ça, en plus ( trop ) détaillé d'ailleurs. ( qu'est ce que B par exemple ? )
ps : Par habitude, je fais parfois court.

[mehdi_128]

@Ansset

Vous avez surement raison mais comme j'ai pas encore révisé les séries entières je n'ai aucun recul et sur le sujet du CAPES 2018 y a que 3 questions sur les séries entières et le reste c'est des chapitres que j'ai vu : suites, densité dans R, borne sup, division euclidienne, partie entière, ensemble, nombres réels, suites adjacentes etc...

B c'était un exemple d'ensemble que j'ai pris : si A est inclus dans B et A,B 2 parties non vides et majorées alors Sup(A) =< Sup(B)

[ansset]

oui , mais c'est inutile ici.
tu as tendance a faire parfois des tartines.
est ce pour être plus explicite où pour être sûr de ta démo ?

[mehdi_128]

Parce que selon moi c'était pas évident j'avais pas appris le théorème concernant : A inclus dans B implique Sup(A) =< Sup(B) même si je sais le démontrer

[Merlin95]

Il y a des "théorèmes" tellement évidents, que les comprendre (c'est à dire les visualiser, mettre du sens sur ce que ca signifie) constitue presque une démonstration du théorème.

Parfois, mais je peux me tromper on ne sait pas si tu as du mal à comprendre ce que signifie le théorème, où s'il y a un problème au niveau du passage à la rédaction qui devrait découler pourtant de la compréhension du théorème. C'est assez désarçonnant. Par exemple A inclus dans B, forcément sup(A)<=sup(B), le comprendre c'est le démontrer, donc ne comprends tu pas ce qu'il y a écrit ou as-tu du mal à passer au coté formel.

A mon avis, tu n'as pas d'abord assimilé que comprendre un théorème (en tout cas la plupart au niveau académique) c'est le démontrer et vice et versa.

[mehdi_128]

Dans la démonstration sup(A) < Sup(b) c'est assez théorique et abstrait là je me retrouvais avec un exemple concret j'y avais pas pensé

[ansset]

même en dehors de ça, on a pas besoin d'un B.
d'ailleurs c'est quoi B, je n'ai même pas saisi.

[mehdi_128]

J'ai

B n'est rien ici je voulait dire que pour tout ensemble tel que : alors

Ici mon et

[JB2017]

C'est marrant. Il y a une personne sur autre forum dénommé Ramanujan qui a posé le même exercice sur un autre forum. Il y a deux pages de questions réponses.
De plus ta réponse de 15h06 aujourd'hui c'est exactement la même (mot pour mot) que la réponse de 15h11 sur ce forum.
C'est dingue cette coïncidence.

[albanxiii]

Il n'y a donc pas que les intervenants de FS que mehdi_128 prend pour des jambons.

[mehdi_128]

C'est marrant. Il y a une personne sur autre forum dénommé Ramanujan qui a posé le même exercice sur un autre forum. Il y a deux pages de questions réponses.
De plus ta réponse de 15h06 aujourd'hui c'est exactement la même (mot pour mot) que la réponse de 15h11 sur ce forum.
C'est dingue cette coïncidence.

J'avais demandé là-bas mais j'avais pas compris la réponse donc...

Bref, j'ai fait de mal à personne, je suis poli et je réponds à tous les posts des personnes qui m'aident.

Grâce à plusieurs raisonnement différents j'ai réussi à comprendre.

[JB2017]

Bonjour
Non je ne t'accuse pas d'être incorrect ou je ne sais quoi d'autre. Mais il arrive souvent qu'on passe un certain temps à t'aider et puis on voit que la réponse à ta question est donnée ailleurs. C'est un peu agaçant à la longue.

[stefjm]

Il n'y a donc pas que les intervenants de FS que mehdi_128 prend pour des jambons.

On pourrait le penser mais on est un con...
Je pense que Mehdi veut comprendre, c'est à dire prendre avec ses connaissances.
Il en a, c'est indéniable, mais il passe souvent à coté d'évidences qui me surprennent.

On reproche souvent aux élèves de généraliser un exemple simple sans démontrer rigoureusement une propriété en toute généralité.
Pour Mehdi, c'est plutôt l'inverse. Un exemple ou contre exemple tout bête éclairerait sa problématique.

Bonjour
Non je ne t'accuse pas d'être incorrect ou je ne sais quoi d'autre. Mais il arrive souvent qu'on passe un certain temps à t'aider et puis on voit que la réponse à ta question est donnée ailleurs. C'est un peu agaçant à la longue.

Agaçant dans un premier temps, surprenant dans un second et compatissant dans un troisième?

J'avais demandé là-bas mais j'avais pas compris la réponse donc...

[ansset]

je suggère d'arrêter ces commentaires sur la personne ( auxquels j'ai aussi participé sur un autre fil ), ne pensez vous pas ?
ou alors par MP uniquement.
Cdt

[mehdi_128]

Yes Ansset merci.

En plus je viens d'avoir un post au collège en Physique-Chimie et pas en maths Alors que j'aime pas la Chimie.

[stefjm]

En plus je viens d'avoir un post au collège en Physique-Chimie et pas en maths Alors que j'aime pas la Chimie.

Pas obligé d'aimer pour être bon.
Je t'aiderai pas en chimie, j'ai toujours détesté la chimie.

[mehdi_128]

Pas obligé d'aimer pour être bon.
Je t'aiderai pas en chimie, j'ai toujours détesté la chimie.

Vous aussi ^^ Pas grave niveau collège j'aurais pas de difficulté particulière.
J'aurais préféré avoir une classe en mathématiques