equation différentiel

[invite794d16a0]

Bonjour tous le monde,

Je viens vers vous dans le but de résoudre une équation différentielle.

L'equation est :
x²*y'+y = 1

La solution que j'ai trouvé est :
y = Cst*exp(1/x)

La solution particulière par variation de constante est:
y₀(x) = Cst(x)*exp(1/x)
y'₀(x) = Cst'(x)*exp(1/x) + (Cst(x)*exp(1/x))/(x²)

J'intègre toutes ces solution particulière dans l’équation initiale et par simplification de termes, j'obtiens :
Cst'(x) = 1/(x²*exp(1/x))

et c'est ici que je bloque...
Comment intégrer cette Cst ???

Merci d'avance de votre aide
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[Resartus]

Bonjour,
Une primitive de exp(-1/x)/x² est exp(-1/x)

Mais avant de penser à la variation de constante, il est toujours conseillé de chercher s'il n'y aurait pas des solutions évidentes . Ici, y=1 saute aux yeux..

Ce que vous allez retrouver avec votre marteau pilon...

[invitedd63ac7a]

Attentions aux solutions trouvées. Si on écrit l'équation sous la forme y'= (1-y)/x^2. le théorème de Cauchy-Lipschitz nous permet d'affirmer qu'on va trouver deux familles de solutions indépendantes (relativement aux constantes) l'une définie sur IR- l'autre sur IR+.

[invite794d16a0]

oui mais comment as tu trouvé l'intégral, je ne suis pas arrivé par la méthode de l'intégration par partie ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

Attentions aux solutions trouvées. Si on écrit l'équation sous la forme y'= (1-y)/x^2. le théorème de Cauchy-Lipschitz nous permet d'affirmer qu'on va trouver deux familles de solutions indépendantes (relativement aux constantes) l'une définie sur IR- l'autre sur IR+.

je ne comprend pas ces solutions en fct du signe de x !
l'équation devient
y'/(y-1)=-1/x^2
en laissant de coté la solution triviale y=1
soit y >1
l'intégration des deux cotés donne :
ln ( y-1)=1/x+C
y=1+Cte*e(1/x) ( ici la Cte est >0 )
soit y <1, et on trouve
y=1+Cte*e(1/x) ( et ici la Cte esr <0 )
au final
y=1+Cte*(1/x) avec cte de valeur qcq dans R

ps: la solution y=1 correspondant à une Cte nulle.

[invite51d17075]

On peut même simplifier tout ça en posant z=y-1, donc.
x²z'+z=0 ......

[invitedd63ac7a]

Le théorème de Cauchy-Lipschitz est le théorème fondamental d'existence pour les équations différentielles : l'équation différentielle y'=F(x,y) définie sur un ouvert IxIR (I intervalle ouvert) où F est continue admet une solution (je simplifie, voir(*)). Ici l'intervalle est coupé par 0, ce n'est donc plus un intervalle. Donc on va trouver une famille de solution sur IR- et une famille de solutions sur IR+ avec des constantes distinctes.
Sur IR+
Solution de l'équation sans second membre:
y(x)=C1 exp(1/x), x>0
Solution de l'équation avec second membre:
y(x)=C1 exp(1/x)+1, x>0

Sur IR-
Solution de l'équation sans second membre:
y(x)=C2 exp(1/x), x<0
Solution de l'équation avec second membre:
y(x)=C2 exp(1/x)+1, x<0

(*) https://www.math.univ-toulouse.fr/~f...reg_fboyer.pdf

[invite51d17075]

effectivement.
je retire ma remarque.