Démonstrations valeurs absolues

[Gamma1902]

Bonjour à tous je dois démontrer l'inégalité suivante mais je n'y arrive pas, je pense qu'il faut utiliser l'inégalité triangulaire mais je ne sais pas comment faire, pouvez-vous m'aider:
|x|+|y|≤|x+y|+|x-y|
Merci de votre aide.
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[gg0]

Bonjour.

Tu peux commencer par comparer |x|+|y| à |x+y| ou à |x-y| suivant que x et y sont de même signe ou pas.

Cordialement.

[Gamma1902]

Merci pour votre réponse gg0,
Les comparaisons obtenues sont: |x+y|≤|x|+|y| et ||x|+|y||≤|x-y| mais comment je peux utiliser ces comparaisons ?
Cordialement.

[ansset]

les deux termes de l'inégalité étant positifs par construction, il y a équivalence avec leurs carrés.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

Et conclure comme le propose gg0 selon les mêmes signes ou pas entre x et y .

[gg0]

Heu ... les comparaisons sont bien plus simples (égalités) et je te rappelle qu'une valeur absolue est positive.

Dans un premier temps, fais des essais avec des valeurs simples, genre x=- et y=-5, en examinant les 4 cas de signes.

[ansset]

pourquoi 4 cas ?
comme la formule est symétrique , on peut déjà poser x>=y et réduire à 3 cas:
y<=x<=0
y<=0<=x>=0
0<=y<=x

[PlaneteF]

Bonjour,

pourquoi 4 cas ?
comme la formule est symétrique , on peut déjà poser x>=y et réduire à 3 cas:
y<=x<=0
y<=0<=x>=0
0<=y<=x

Bien mieux que cela, … étant donné que formellement cette inégalité est la même en changeant x en -x et/ou y en -y, il n'y a qu'un seul cas à envisager, par exemple x et y positifs, et c'est terminé


Cordialement

[ansset]

encore mieux, bien vu !

[PlaneteF]

Ceci dit pour être honnête jusqu'au bout, en faisant cela on pose effectivement un cas directement, mais même si c'est trivial, il faut quand même bien montrer que l'on puisse changer x en -x et y en -y, … ce qui rajoute la considération de 2 autres cas

Mais je trouve cette façon de présenter élégante (subjectif) !

Cordialement

[ansset]

mais tu es très élégant aujourd'hui cher PlaneteF !

[fartassette]

Bonsoir,


Une petite touche aussi


mais aussi car


on a ;



donc par somme ...etc


Cordialement,