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**mehdi_128** · 18/10/2018, 21h41

On appelle suite dyadique toute suite $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ . Une suite dyadique est dite impropre s'il existe un entier $\text{[math]}$ tel que pour tout $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$
Une suite dyadique est dite propre si elle n'est pas impropre.

1/ Démontrer que la série de terme général $\text{[math]}$ est convergente. On note $\text{[math]}$ sa somme.
Réussi. Il suffit de majorer : $\text{[math]}$ et toute série absolument convergente est convergente.

2/ Soit N un entier naturel. Que vaut : $\text{[math]}$
J'ai trouvé : $\text{[math]}$

3/ Vérifier que $\text{[math]}$
Réussi par encadrement.

4/ Montrer que si a est une suite dyadique impropre alors $\text{[math]}$

Je n'arrive pas à faire cette question

**Tryss2** · 18/10/2018, 21h46

Est-ce que tu peux montrer qu'une suite dyadique propre possède un terme nul? Est-ce que tu peux en déduire que la somme associée est donc strictement inférieure à 1?

Merlin95 · 18/10/2018, 21h53

Envoyé par mehdi_128

Réussi. Il suffit de majorer : $\text{[math]}$

je n'ai pas compris ou c'est faux, car a_k peut être nul.

**mehdi_128** · 18/10/2018, 22h09

Envoyé par Tryss2

Est-ce que tu peux montrer qu'une suite dyadique propre possède un terme nul? Est-ce que tu peux en déduire que la somme associée est donc strictement inférieure à 1?

Une suite dyadique propre est une suite qui vérifie : $\text{[math]}$

La suite j'y arrive pas.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**ansset** · 18/10/2018, 22h25

ce n'est pas faux.
par ailleurs je suppose qu'il s'agit de $\text{[math]}$
hors si tous les termes $\text{[math]}$ , la somme vaut 1.
d'où la remarque de Tryss.

**mehdi_128** · 18/10/2018, 22h32

Salut Ansset.

Oui $\text{[math]}$

Du coup si on prend $\text{[math]}$ comme a est une suite dyadique propre on obtient : $\text{[math]}$

Et là je vois pas comment continuer.

**Tryss2** · 18/10/2018, 22h44

Dernière indication de ma part :

$\text{[math]}$

Merlin95 · 18/10/2018, 22h46

c'est pas plutôt :

Envoyé par mehdi_128

4/ Montrer que si a est une suite dyadique propre (et non impropre) alors $\text{[math]}$

**mehdi_128** · 18/10/2018, 22h55

Envoyé par Merlin95

c'est pas plutôt :

Oui erreur de frappe

**mehdi_128** · 18/10/2018, 23h04

Envoyé par Tryss2

Dernière indication de ma part :

$\text{[math]}$

D'après la question 2 : $\text{[math]}$ et comme $\text{[math]}$

Donc : $\text{[math]}$

Or : $\text{[math]}$

Par sommation : $\text{[math]}$ car N non nul

Le $\text{[math]}$ qui reste me gêne et m'empêche d'avoir le résultat final

Merlin95 · 18/10/2018, 23h16

reprends le message #2 de Tryss qui t'a pratiquement tout expliqué.

**mehdi_128** · 18/10/2018, 23h20

Envoyé par Merlin95

reprends le message #2 de Tryss qui t'a pratiquement tout expliqué.

Bah oui mais j'ai fait le calcul voir mon message 10 et ça marche pas.

Merlin95 · 18/10/2018, 23h26

la question 2/ n'a pas de rapport direct avec la 4/, donc que relis et réfléchis au message de Tryss

**mehdi_128** · 18/10/2018, 23h33

Je sais ce qu'il faut faire montrer que la somme est strictement inférieur à 1. Mais je n'y arrive pas.

Je sais pas quoi faire de : $\text{[math]}$

EN plus ici y a un souci la somme n'existe pas si N=1

Merlin95 · 18/10/2018, 23h46

mais pourquoi pars tu de là (de cette formule) ?

**ansset** · 18/10/2018, 23h51

autre approche.
quelle serait donc la définition d'une suite dyadique propre ( la contraposée de la définition d'une suite impropre ) ?
et qu'en déduire sur la somme ?

**mehdi_128** · 18/10/2018, 23h57

Je pensais à introduire une autre suite dyadique.

Comme a est propre il existe un $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$

On a montré que pour toute suite dyadique $\text{[math]}$

Introduisons une suite dyadique $\text{[math]}$ telle que : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

On a alors : $\text{[math]}$

D'où : $\text{[math]}$

Vous auriez fait comment vous ?

**mehdi_128** · 18/10/2018, 23h58

Envoyé par ansset

autre approche.
quelle serait donc la définition d'une suite dyadique propre ( la contraposée de la définition d'une suite impropre ) ?
et qu'en déduire sur la somme ?

Une suite dyadique propre est une suite qui vérifie : $\text{[math]}$ ?

**mehdi_128** · 19/10/2018, 00h06

En gros une suite dyadique propre pour n'importe quel m entier non nul, on trouvera un k plus grand tel que a_k=0

Exemple si : m=10 il existe un k plus grand que 10 tel que a_k=0

Mais ici j'ai fixé m=1.

**ansset** · 19/10/2018, 00h27

et donc, qu'en conclure sur l'existence ( ou pas ) d'au moins un terme nul , et de ce fait, de la valeur maximale de la somme ?

Merlin95 · 19/10/2018, 00h31

je comprends pas pourquoi tu ne vois pas l'évidence (mais peut-être ne la cherches tu pas assez) ?

si la suite (a_n) est propre pour tout k>=1 il existe un n>=k a_n = 0
ca suffit à s'assurer que la suite possède au moins un a_i=0
et donc que la
$\text{[math]}$

**mehdi_128** · 19/10/2018, 00h36

Envoyé par Merlin95

je comprends pas pourquoi tu ne vois pas l'évidence (mais peut-être ne la cherches tu pas assez) ?

si la suite (a_n) est propre pour tout k>=1 il existe un n>=k a_n = 0
ca suffit à s'assurer que la suite possède au moins un a_i=0
et donc que la
$\text{[math]}$

J'ai compris le principe mais pas comment vous arrivez direct à l'inégalité : $\text{[math]}$

**mehdi_128** · 19/10/2018, 00h37

Envoyé par ansset

et donc, qu'en conclure sur l'existence ( ou pas ) d'au moins un terme nul , et de ce fait, de la valeur maximale de la somme ?

La valeur maximale de la somme n'est pas atteinte.

Merlin95 · 19/10/2018, 00h41

Envoyé par mehdi_128

J'ai compris le principe mais pas comment vous arrivez direct à l'inégalité : $\text{[math]}$

c'est comme dire "la valeur maximale n'est pas atteinte" non ?

**ansset** · 19/10/2018, 00h45

ben oui, il suffit d'un seul terme nul pour que s(a)<1
car s(a)=1 => tous les coeffs valent 1
je n'ai pas bien saisi pourquoi tu ne l'as pas vu tout de suite.
en espérant que maintenant c'est plus clair pour toi.
Cdt

**mehdi_128** · 19/10/2018, 01h02

Ok Merci Ansset c'est parce que je ne suis pas habitué à manipuler des sommes infinies, je pensais qu'il fallait réécrire tout en enlevant le + infini puis faire tendre n vers l'infini.

Sinon j'ai fait ça d'une autre manière :

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**ansset** · 19/10/2018, 01h23

il est probable que ta pièce jointe ne soit validée que demain ( vu l'heure tardive )
mais si tu veux l'écrire mathématiquement:
$\text{[math]}$
soit $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Merlin95 · 19/10/2018, 01h27

c'est plutôt :

Envoyé par ansset

$\text{[math]}$

**ansset** · 19/10/2018, 01h34

oui c'est mieux présenté ainsi ( car c'est sans préjuger des autres ak ).

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