récurrence série logarithmique

[lola3]

Bonjour,

Je suis bloqué au niveau de l’hérédité pour les récurrences à la question 1b et la question 4b. Pour la q1b j'ai essayé de partir de l'expression de Kn+1(x) pour l'exprimer en fonction de Kn(x) mais je n'y arrive pas. De même que pour la q4b, je suis parti du fait que 0<ln2 -Sn(1/2) < 1/2**n, donc ln2 -Sn(1/2) - 1/((n+1)2**(n+1))< 1/2**n -1/((n+1)2**(n+1)) soit ln2 -Sn+1(1/2)<1/2**(n+1) *(2n+1/n+1) mais après cela ne me mène à rien.
Et pour la q5a, je ne vois pas comment procéder parce qu'on départ j'ai mis que ln(1+x)-ln(1-x)=ln(1+x) + Sn(x) mais après je suis bloqué.

Merci d'avance
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[JB2017]

Bjr
Pour le 1 faire une IPP.

Pour le 2 la différence correspond au reste de la série et vaut dc

Pour la dernière question, il faut admettre ce qui est dit

écrire alors ln((1+x)-ln(1-x) sous la forme de la différence de 2 séries. Le regroupement des termes de même degré font qu'ils ne reste que les termes impairs...ce qui correspond au résultat.

[lola3]

Merci pour ton aide!

Par contre pour la q1b, je suis bloqué pour l'IPP parce que je peux écrire Kn(x) en fonction de Kn-1(x) * (x-t)/(1-t) mais après je ne comprend pas comment procéder.

[JB2017]

Bonjour
Je viens de vérifier il faut faire une IPP sur K_n(x) :
Pose u(t)=(x-t)^n et v'(t)=1/(1-t)^(n+1) alors l'intégrale sur K_n(x) va donner une intégrale sut K_{n-1}(x)

[A voir en vidéo sur Futura]

[lola3]

Merci beaucoup!