équation trigonométrique

**jotier** · 27/10/2018, 15h55

bonjour, je n'arrive pas à résoudre cette équation, quelqu'un aurait une piste svp ?

$\text{[math]}$

**gg0** · 27/10/2018, 16h10

Bonjour.

Une résolution algébrique complète n'est pas possible. Comme $\text{[math]}$ , ton équation est équivalente à la suite infinie d'équations $\text{[math]}$ où k prend toute valeur entière positive ou négative. Pour chaque valeur de k, tu as deux équations qui ont chacune une seule solution, par exemple pour k=2, avec le + tu as une valeur d'environ 14.13715320 et pour le -, environ -10.99557429.

As-tu vraiment besoin de résoudre cette équation (un cos qui porte sur un cos, ce n'est pas un calcul concret) ?

Cordialement.

**CARAC8B10** · 27/10/2018, 16h11

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
LaTeX est en grève ?

essayez avec [ tex] et [ /tex ], sans les espaces.

**jotier** · 27/10/2018, 16h20

bonjour monsieur,
effectivement, je suis bloqué là, je ne sais pas trop quoi faire...
c'est la dernière question de mon DM de math sup, on nous demande pour quels réels x l'inégalité
$\text{[math]}$ est une égalité

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**gg0** · 27/10/2018, 16h22

Si c'est la dernière question, il y a sans doute un lien avec ce que tu as démontré avant, relis ton devoir.

**jotier** · 27/10/2018, 16h27

malheureusement, les questions précédentes permettaient d'établir l'inégalité en minorant etc.. donc pas moyen d'établir l'égalité

**gg0** · 27/10/2018, 16h45

Bon, je viens de regarder de plus près, car tu ne nous as pas tout dit.
Et finalement, cette équation est beaucoup plus simple, compte tenu de ce que tu sais (périodicité, parité, ...) et probablement de la façon dont ça a été majoré. Du coup, je me suis laissé embarquer dans un calcul plus compliqué que nécessaire.
Depuis le début, tu travailles probablement sur un domaine limité, et dans ce domaine, il n'y a qu'une seule solution à l'équation (cherche pourquoi, ce que j'ai écrit ci-dessus peut éventuellement servir. Comme elle est évidente et se voit facilement avec un traceur de courbes, je te laisse la surprise ....

Cordialement.

NB : Donner la dernière question du devoir, trafiquée, sans contexte, n'est pas une bonne façon de faire ....

**gg0** · 27/10/2018, 16h46

Envoyé par jotier

malheureusement, les questions précédentes permettaient d'établir l'inégalité en minorant etc.. donc pas moyen d'établir l'égalité

Généralement, il y a des moyens de savoir quand les inégalités sont strictes ou pas, quand la minoration est forte ou pas.

**jotier** · 27/10/2018, 18h33

voici l'énoncé:

On se propose de montrer que :
∀x ∈ R, $\text{[math]}$ (*)
1) Comparer, pour tout t ∈ R, les nombres $\text{[math]}$
2) En déduire que ∀x ∈ R,
$\text{[math]}$ , puis prouver (*).
3) Pour quels nombres réels x l’inégalité (*) est-elle une égalité ?

j'ai regardé sur un traceur, et les valeurs en question sont $\text{[math]}$ (ce qui évident en effet)
j'ai suivi vos conseils et j'ai trouvé une solution pour montrer qu'elles sont uniques.
En effet, si on considère l'application g qui va de R dans R et qui à x associe sin(x) - cos(cos(x)) on voit qu'elles est $\text{[math]}$ et en restreignant l'étude sur [-pi; pi] on voit que l'équation
$\text{[math]}$ devient $\text{[math]}$ (1)
or l'application qui à x associe pi/2 - x - cos(x) est décroissante (dérivée négative ou nulle) idem pour pi/2 - x + cos(x)
donc les 2 equations (1) possèdent une seule solution sur [-pi; pi] c'est-à-dire pi/2

g étant 2pi-périodique, les solutions de (*) sont donc $\text{[math]}$

voilà, mon résonnement est-il rigoureux ?
merci beaucoup pour votre aide

**gg0** · 27/10/2018, 19h29

Le résonnement, je ne sais pas, mais le raisonnement me semble correct, en précisant que les deux équations ont chacune une seule solution mais que c'est la même.

Tu es sûr de ton $1 + sin^{2}(x) \leq\ cos(cos(x))$
Le premier membre est toujours supérieur à 1, le deuxième non.

Cordialement.

**jotier** · 28/10/2018, 10h28

oui excusez moi, je me suis perdu avec latex je n'ai pas fait attention à l'orthographe...
en tout cas merci beaucoup pour vos indications, bonne journée !
Cordialement.

**jotier** · 28/10/2018, 10h29

la deuxième question est (1+sin^2(t))/2 et non 1+sin^2(t)... excusez moi

**gg0** · 28/10/2018, 12h03

La majoration (1+sin^2(t))/2 <= cos(cos(t)) est une égalité pour certaines valeurs de t; déjà pour la première comparaison (question 1), il y avait un cas d'égalité. En reprenant ces cas où l'inégalité était en fait une égalité, tu avais directement la réponse à la dernière question, comme je te le disais au message #5

Cordialement.

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