Exercice autour de Baire..j'imagine

[maatty]

Bonjour,
je suis coincé sur un exercice dont je vous donne l'énoncé: On considère une fonction continue telle que pour tout la suite tende vers 0. En considérant les ensembles
pour donné, montrer que:

A vrai dire, la différence entre l'hypothèse sur la limite et ce que l'on veut démontrer m'échappe un peu (c'est sans doute pour cela que j'ai du mal).
Comme il s'agit d'un exercice autour de la complétude, j'ai pensé au th. de Baire (que j'ai du mal à utiliser en exercice). Voilà ce que j'ai tenté:
- j'ai montré que pour donné, qui est fermé de R donc complet (réunion sur N des).
- j'ai montré ensuite que fermé comme intersection dénombrable de fermé.
- j'ai appliqué le th de Baire (sa contraposé) puisque l'union est d'intérieur non vide alors il existe d'intérieur non vide et donc un élément x inclus dans un ouvert lui-même inclus dans .

A ce stade je suis bloqué; je ne suis même pas certain de ce que j'ai et surtout si cela sert à quelque chose.

Si quelqu'un avait la gentillesse de m'aiguiller un peu
je vous remercie
-----

[maatty]

Bonjour,
je relance mon appel; cet exercice n'inspire vraiment personne...ne serait-ce pour me me dire si ce que j'ai fait sert à quelque chose (je m'étais inspiré de ce que j'avais lu dans un autre exercice en rapport avec cela mais peut-être fais-je fausse route)
Merci d'avance

[invitedd63ac7a]

- j'ai montré que pour donné, qui est fermé de R donc complet (réunion sur N des).

Oui,

- j'ai montré ensuite que fermé comme intersection dénombrable de fermé.

oui.

- j'ai appliqué le th de Baire (sa contraposé) puisque l'union est d'intérieur non vide alors il existe d'intérieur non vide et donc un élément x inclus dans un ouvert lui-même inclus dans

oui,
donc il existe une boule ouverte B(x0,a) incluse dans Fn0, a>0
Remarquer que si y est dans Fn il en est de même de ky pour k dans IN*.
Donc toutes les boules B(kx0,ka) sont dans Fn0. Il est clair que pour k suffisamment grand les boules précédentes vont se chevaucher...
J'espère vous avoir aidé.

[maatty]

Bonsoir,
vous m'avez plus qu'aidé, c'est éclairant et je vous en remercie chaleureusement.

[A voir en vidéo sur Futura]