Calcul de série de Ramanujan

[stefjm]

Bonjour,
Je suis intrigué par ce genre de série :



et plus généralement par



Ont-elles un nom? Comment calculer leur somme?

C'est probablement trop difficile pour moi mais sait-on jamais...

Cordialement.
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[Deedee81]

Salut,

Ont-elles un nom?

Oui: série de Ramanujan.



Non, sans rire, je ne sais pas. Tu l'as trouvé où ? (j'ai fait une ch'tite recherche, j'ai pas trouvé, mais j'ai probablement mal cherché)

EDIT à non, je viens de tilter, c'est la généralisation dont tu parles, c'est ça ?

[stefjm]

D'après Plouffe, le cas particulier est dans les carnets de Ramanujan.

[0577]

Bonjour,

ces séries sont reliées aux valeurs à des séries d'Eisenstein.

Si k est un entier>1, la série d'Einsenstein est la fonction de , donnée par

où B_2k est un nombre de Bernoulli et .

La propriété essentielle des séries d'Eisenstein est la modularité: est une fonction modulaire de poids 2k, ce qui signifie que pour tout a,b,c,d entiers tels que ad-bc=1, on a .

Il résulte facilement de la modularité que si k est impair, i.e., si k impair



Pour k=7, on a B_14=7/6 et donc bien B_14/(4.7)=1/24.

Pour montrer que est modulaire, il suffit de montrer que
est proportionnel à

.

On peut par exemple obtenir ce résultat en dérivant plusieurs fois l'identité classique

[A voir en vidéo sur Futura]

[stefjm]

Bonjour,
Mille merci, vous m'entrouvrez plein de portes.
J'ai de quoi lire pour un bon moment.
https://en.wikipedia.org/wiki/Gotthold_Eisenstein

Je ne connaissait même pas la dernière identité classique que vous mentionnez.
Cordialement.

[0577]

Je ne connaissait même pas la dernière identité classique que vous mentionnez.

Cette identité est due à Euler et est très raisonnable si on remarque que chacun des membres de l'égalité a pour pôles exactement les entiers, tous avec résidus un (pour un déduire une preuve, il faut travailler un peu plus mais c'est au moins un moyen de se rappeler de la formule).

[stefjm]

Merci.
Je suis épaté par les découvertes des illustres anciens.
Comment montre-on cela avec des outils naïfs?

[azizovsky]

Merci.
Je suis épaté par les découvertes des illustres anciens.
Comment montre-on cela avec des outils naïfs?

Non pas naïf: développent de la fonction en série Fourier sur



pour et , on'a les formules suivants :

(1):

(2):

en différentiant (2) par rapport à et en divisant par et en change le signe:


en remarque que :



il vient :



et la deux peut s'écrire :



le signe (') sur la somme désigne qu'on saute le k=0 , et on regroupant deux à deux les termes de signe opposées et de même valeurs en valeurs absolues de k .., en retrouve (2) (elle un peu différente ...)

[azizovsky]

avec

[azizovsky]

d'où :

(fonction d'Euler)

[azizovsky]

d'où :

d'où si ,on'a :

à toi stefjm .

[stefjm]

Merci, je vais rejouer avec les séries de Fourier.

Mais comment Euler a trouvé cela?

[azizovsky]

Merci, je vais rejouer avec les séries de Fourier.

Mais comment Euler a trouvé cela?

Il n'a rien laissé ...https://fr.wikipedia.org/wiki/Formul...inue_d%27Euler