opérateur compact et norme

[invite69d38f86]

bonjour
dans ce lien je lis ceci

Indeed it is perfectly possible for an operator to be
“smaller than epsilon for any epsilon” without being
zero. This happens when the norm of the restriction of
the operator to subspaces of finite codimension tends
to zero when these subspaces decrease (under the natu-
ral filtration by inclusion). The corresponding operators
are called “compact” and they share with naive infini-
tesimals all the expected algebraic properties. Indeed
they form a two-sided ideal of the algebra of bounded
operators in Hilbert space and the only property of the
naive infinitesimal calculus that needs to be dropped is
the commutativity.

je vois un peu l'idée mais je ne trouve pas le théoreme mathématique utilisé
pourriez vous me l'indiquer?

merci
-----

[invitedd63ac7a]

Tu peux traduire s'il te plait !

[invite23cdddab]

Dans les espaces de Hilbert, les opérateurs compacts sont des limites d'opérateurs de rang fini

[invite69d38f86]

merci. en topologie on parle de compacité pour un ensemble de points de suite de points de cet ensemble . ici on a un operateur.quel est le lien?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite23cdddab]

Un opérateur compact est un opérateur pour lequel l'image d'un ensemble borné est relativement compact (= contenu dans un compact)

[invite69d38f86]

cette définition que j'ai retrouvée dans wikipédia est elle équivalente a celle donnée par Alain Connes dans le pasage cité dans
mon premier post?

[invite69d38f86]

en restreignant l'opérateur de facon a ce que sa norme tende vers zero Connes semble parler ici du noyau
de l'application. peut on définir la compacité en termes du noyau?

[invite23cdddab]

Non, tu as des opérateurs compacts injectifs (donc qui ont leur noyau réduit à {0} ).

Si tu veux un exemple simple :

Tu as un espace de hilbert H, muni du produit scalaire , et une base de Hilbert.

Alors L'opérateur défini par est compact et injectif.


Et la norme de T sur le supplémentaire de est égale à , qui tend vers 0.

[invite69d38f86]

merci pour cet exemple
dans ce cas je redonne mais en francais ce que dit Alain Connes

En effet, il est parfaitement possible qu'un opérateur soit
«Plus petit que epsilon pour n’importe quel epsilon» sans être
nul. Cela se produit lorsque la norme de la restriction de
l'opérateur aux sous-espaces de codimension finie tend vers zéro
lorsque ces sous-espaces diminuent (sous la
filtration par inclusion). Les opérateurs correspondants
sont appelés «compacts» et ils partagent avec un infinitesimal toutes les propriétés algébriques attendues.

pourrais tu m'expliquer ce qu'il dit et comment ca coincide avec la définition usuelle d'une opérateut linéaire
compact comme donné sur wikipedia?

[invite69d38f86]

j'avais interprété de travers le "decrease" des sous espaces. j'avais pensé que l on avait une suite de
sous espaces inclus les uns dans les autres dont la dimension diminuait. ton exemple montre que
c'est le contraire. Connes dirait donc que si on a une telle suite de sous espaces croissant ainsi vers l'espace de
hilbert d'origine, et tq la norme des opérateurs restreints tende vers zero alors il est compact.

les opérateurs compacts sont ils donc de norme nulle?
comment se ramener a la définition avec des ensembles bornés dans un compact?

[invite9dc7b526]

Non, il parle bien de suite décroissante (au sens de l'inclusion) de sous-espaces.

[invite69d38f86]

mes souvenirs en topologie remontent a tres longtemps
ce qu'ecrit tryss2 avec ses suites de sous ensembles qui incluent les précedents me fait penser a des filtres
de plus en plus fins qui permettraient de définir des limites des adhérences etc.
une piqure de rappel me ferait du bien pour ce texte de Connes.....

[invite9dc7b526]

Tryss parle du supplémentaire (je pense qu'il a oublié le mot orthogonal) de l'espace engendré par les n premiers vecteurs. Cette suite est donc bien décroissante.

[invite69d38f86]

pour résumer,
dans les conditions indiquées par alain connes, pour tout epsilon il existe un entier n tq l'espace de hilbert H est une somme de deux
espaces orhogonaux, l'un H1 de dimension finie n et l'autre H2 de codimension finie
on regarde l'image par l'opérateur O des vecteurs de la boule unité.
tout vecteur v se décompose en v1 + v2
etant en dimension finie n sur un espace de hilbert il existe R tq |(O(v1))| <= R
|O(v2)| <= epsilon
|O(v1 +v2)| <= rac (R^2 + epsilon^2)
l'image de la boule unité est bornée et incluse dans une boule fermée pour un rayon suffisamment grand.

[invite9dc7b526]

l'image de la boule unité est bornée

oui mais attention, ce n'est pas un critère suffisant. L'identité envoie la boule unité sur elle-même mais n'est pas un opérateur compact en dimension infinie.

[invite69d38f86]

ah oui? pourquoi?

[invite23cdddab]

Parce que la boule unité d'un espace vectoriel (normé, sur R ou C) de dimension infinie n'est pas compacte

[invite69d38f86]

c'était une question subsidiaire par rapport a l'identité qui ne répond pas a la définition de connes.
je poste plus souvent en physique et mes questions peuvent etre naives.
pouvez vous m'en dire plus sur les boules unités en dimension infinie?
Merci

[invite9dc7b526]

Tu pourrais peut-être lire le cours de topologie de Laurent Schwartz, du moins les chapitres sur les espaces vectoriels normés. Tu y trouveras la démonstration du fait que dans un evn de dimension infinie une boule fermée n'est jamais compacte.

[invite69d38f86]

ok je vais le faire
la fin de ma démonstration est donc incorrecte concernant l'inclusion de l'image dans un compact.
comment trouve t on un tel compact?

[invite69d38f86]

Tu as un espace de hilbert H, muni du produit scalaire , et une base de Hilbert.

Alors L'opérateur défini par est compact et injectif.


Et la norme de T sur le supplémentaire de est égale à , qui tend vers 0.

dans cet exemple quel est le compact contenant l'image de H?

[invite69d38f86]

Edit

quel compact contient l'image de la boule unité de H?

[invite23cdddab]

.

Une preuve que cet ensemble est compact :

http://www.iecl.univ-lorraine.fr/~Ol...extraction.pdf

[invite69d38f86]

merci pour le lien

pour revenir a la proposition de Connes j'ai du mal a visualiser ce qui se passe a propos de la somme entre espace de dimension
finie et de codimension finie
si je prends un certain epsilon je peux trouver un sous espace tq la restriction de T a cet espace soit de norme epsilon.
ca semble determiner (si l'opérateur T est compact) une valeur n pour la codimension
mais n est entier et epsilon peut varier continument. comment est ce possible?

[invite69d38f86]

Dans l'exemple un vecteut de H doit etre une application sommable de N dans C
codé par exemple par z1 z2 z3 z4 etc
et l'opérateur T lui associe z1 z2/2 z3/3 z4/4 etc
un exemple de codimension fini est donné par la nullité des n premiers termes.
c'est ca?

[invite69d38f86]

un petit aparté a propos de la citation du premier post.
il est dit qu'un opérateur compact peut etre "plus petit" que tout epsilon donné.
avec un opérateur compact T effectivement sa restriction sur un sous espace bien choisi peut etre rendue aussi petit que l'on veut.
mais ce n'est pas ce qui est écrit. on y parle de l'opérateur T celui de départ.
comment comprenez vous cette affirmation?

[invite69d38f86]

Quand Alain Connes veut comparer un opérateur compact T a un il s'agit de le comparer a l'opérateur .
la différence entre les deux se voit quand on regarde la "taille" de l'image du la boule unité.
reprenons l'exemple donné par Tryss2
l'espace de hilbert de dimension infini est l'espaces des fonctions de carré sommable de .
Une telle fonction peut etre codée z1,z2,z3,z4,z5 ....
l'image d'un tel vecteur par est
son image par T est
la taille de l'image de la boule unité par ces deux opérateurs n'est pas la meme.
il y a un moyen pour s'en rendre compte. on se demande si une boule de rayon r inférieut a epsilon est incluse dans l'image.pour cela on regarde dans toutes directions a parir du point origine et on regarde si le translaté d'une longueur r est bien dans l'image.
r,0,0,0,0.... y est de meme que 0,r,0,0,0 idem pour les autres.
voyons avec T
r,0,0,0,0 y est si r < 1
0,r,0,0,0 aussi si r< 1/2
mais regardons ce qui se pase si on prend r = 0,35
dans les deux premieres directions on reste dans l'image mais pas pour la troisieme (une partie de la boule de rayon r déborde de l'image) de meme pour toutes mes directions suivantes.
Aucune boule de rayon r n'est incluse dans l'image de la boule unité par T.
l'image par epsilon Id a pour intérieur un ensemble de taille epsilon alors qu'avec T l'intérieur de l'adhérence est vide.

sans que ce soit une démonstration ceci montre comment la définition de connes (avec ces codimensions finies) est reliée a la petitesse des opérateurs compacts.