bonjour,
soit f une fonction continue sur un segment [a,b] inclu dans R, comment s'appelle le théorème qui donne l'existence de l'intégrale de f sur [a,b] ?? J'ai beau cherché, je ne trouve pas comment, à partir d'une fonction, on peut construire un tel objet "intégrale de f"...
Dernière modification par albanxiii ; 26/12/2018 à 18h54. Motif: typo titre
bjr, si est continue sur ton intervalle , alors elle est bornée et évidemment "continue presque partout"
elle est donc intégrable "au sens de Riemann".
je ne sais de quel théorème tu parles.
Dernière modification par ansset ; 26/12/2018 à 18h21.
y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
merci de cette réponse rapide, l'intégrale au sens de Riemann de f entre a et b c'est la borne supérieur de l'ensemble des intégrales entre a et b des fonctions en escalier inférieurs à f sur [a,b]: Comme f est bornée cela assure que cet ensemble est majorée et donc admet une borne supérieure, est ce bien cela?
en partie, pour une intégrabilité au sens de Riemann, il faut aussi qu'elle soit "continue presque partout" , sinon on ne peut (en le disant de manière imagée ) la découper en intervalles de plus en plus petits.
dans un cas général ( donc si on oublie Riemann ), sans parler de continuité, il suffit que \int_I |f(x)| converge.
mais dans la pratique cette définition n'est pas très "pratique".
y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
remarque secondaire :
"continue presque partout" signifie que l'ensemble des points ou elle n'est pas continue est dénombrable.
mais ce n'est pas ton cas, puisque tu parles de fonctions déjà continues.
Dernière modification par ansset ; 26/12/2018 à 18h52.
y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
Ce que je ne comprends dans votre seconde définition, "en oubliant Riemann", c'est qu'avant de parler de convergence de l'intégrale de la valeur absolue de f sur I, il faut déjà avoir défini cet objet "intégrale sur I de la valeur absolue de f" si ce n'est pas l'intégrale au sens de Riemann alors quel sens y'a-t-il à dire qu'un tel objet peut converger?
Dernière modification par Keisersoze ; 26/12/2018 à 19h13.
Bonjour Keisersoze.
Toutes tes questions se résolvent immédiatement si tu acceptes de lire et réfléchir à un cours sur l'intégrale de Riemann. Donc prendre un livre de L1/prépa ancien qui définit clairement l'intégrale de Riemann; ou un livre de L3 qui développe correctement l'intégrale de Lebesgue. Ou un cours sur l'intégrale de Kurzweil-Henstock; ou un cours de master sur les différents types d'intégrales.
Car en effet, il existe de nombreuses notions d'intégrales, en grande partie cohérentes, mais certaines très générales, d'autres très adaptées à certaines situations.
Pour les fonctions continues, elles se recoupent toutes, donc on peut lire un cours sur l'intégrale de Riemann, voire même les cours actuels de prépa qui se restreignent (si j'ai bien compris) aux fonctions continues par morceaux. le théorème que tu évoques est double :
* L'intégrale d'une fonction continues sur un segment existe
* Une fonction continue sur un segment admet des primitives
Cette deuxième propriété est parfois appelée "principe fondamental de l'analyse", la première n'a pas de nom particulier. En fait, on démontre avec ces deux propriétés et le lien primitives/intégrales, que le calcul d'intégrales de fonctions continues se ramène à inverser (si on peut) la dérivation.
Quant au message de Ansset, il parlait de la notion d'intégrabilité, qui ne se pose pas pour l'intégrale sur un segment d'une fonction continue.
Enfin, pour ton message #3, ta définition est fausse (*). L'intégrale de Riemann est la valeur commune à "la borne supérieure de l'ensemble des intégrales entre a et b des fonctions en escalier inférieures à f sur [a,b]" comme tu dis et "la borne inférieure de l'ensemble des intégrales entre a et b des fonctions en escalier supérieures à f sur [a,b]". Pour des fonctions compliquées, ces deux bornes n'ont aucune raison d'être égales.
Mais pour des fonctions continues sur un segment fermé borné, la limite commune des sommes de Riemann est encore plus simple et donne même un moyen de calcul !!
Cordialement.
(*) même si elle marche pour une fonction continue.
merci de cette réponse détaillée:
Le principe fondamental de l'analyse doit inclure, me semble-t-il, la première propriété selon laquelle "L'intégrale d'une fonction continues sur un segment existe ", car pour dire qu'une fonction continue admet des primitives il faut déjà avoir l'existence de la fonction qui à x associe l'intégrale d'un point a à x de la fonction f pour ensuite dire que cette fonction est dérivable , non?
A moins que le principe fondamental de l'analyse ne dise seulement que si une telle fonction (la fonction qui à x associe l'intégrale de f entre a et x) existe alors elle est dérivable
Dernière modification par Keisersoze ; 26/12/2018 à 20h36.
Je ne me battrai pas sur des noms, il y a plusieurs présentations de ce "principe" (rappel : le mot "principe" est souvent employé pour dire "propriété de base pour raisonner", ici il est mal employé !).
Cordialement.
en fait ma nuance porte sur le fait que je ne sais pas si dans le principe fondamentale de l'analyse on dit que la première propriété *" L'intégrale d'une fonction continues sur un segment existe" est vraie ou si on suppose qu'elle est vraie ?
Dernière modification par Keisersoze ; 26/12/2018 à 20h43.
Laisse tomber !
Dans un cours, la succession des preuves est nécessaire pour une justification complète. Leurs noms sont anecdotiques. Et souvent variables.
J'insiste parce qu'on ma déjà demandé aux oraux de concours pourquoi on a le droit de dire que la primitive d'une fonction continue existe, à l'époque j'ai répondu grâce au théorème fondamentale de l'analyse (l'examinateur m'avais dit que c'était effectivement ça), mais avec le recul je me demande si je n'aurais pas dû dire que l'on a l'existence des intégrales au sens de Riemann pour des fonctions continues sur un segment + principe fondamentale de l'analyse pour dire que la fonction qui à x associe l'intégrale de a à x est dérivable (donc c'est une primitive)
PS: Je n'arrive pas à faire fonctionner le Latex, je ne trouve pas le bouton Tex pour baliser le code dans l'onglet pour répondre aux questions
Dernière modification par Keisersoze ; 26/12/2018 à 20h54.
le bouton Latex ( accessible en mode "avancé" ) est actuellement invisible mais existe.
c'est l'avant dernier bouton blanc ) droite dans le menu au dessus du texte.
y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
fCM(I,
a) la fonction F: I
j'aimerais être sûr mais je ne comprends pas bien pourquoi F est continue, si on fait un dessin l'aire sous la courbe d'une fonction continue par morceaux n'a pas l'air très continue (j'ai trouvé ce théorème dans un bouquin)
Dernière modification par Keisersoze ; 26/12/2018 à 21h17.
Une fonction continue par morceaux et bornée est intégrable.
Et elle est bien continue.
En revanche sa dérivée ne l'est pas.
essayes de trouver un contre-exemple de fonction qui contredise ces points.
y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
c'est moi ou je comprends rien.
Par exemple la fonction xE(x) discontinue à chaque point app à N
Mais dont tu peux verifier qu'elle bien continue, même pour chaque x entier.
Dernière modification par ansset ; 26/12/2018 à 22h54.
y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
pas mieux, pas grave, je verrai en fonction des réponses.
xE(x) n'est pas continue par morceaux (enfin particulièrement)
Dernière modification par Merlin95 ; 26/12/2018 à 23h11.
bien sur que si, elle est continue entre chaque entier et discontinue en chaque entierEnvoyé par Merlin95
mais le point était que Kaisersoze ( joli pseudo ) supposait que l'intégrale d'une telle fonction était elle-même discontinue, ce qui est faux.
y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
Ha oui. Ok. Même si je me demande si une intégrale au sens de Lebesgue ne subit ce genre de considérations.
quelles considérations ?
y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
bah, de capacité à énoncer des propriétés topologiques entre une fonction et son intégrale
Mais je précise que je demande cela d'un point de vue formaliste et pas platonicien.
je comprend mieux.
effectivement, il y a plusieurs notions d'intégrale, et "au sens de Lebesgue" est une extension du "au sens de Riemann".
mais ce fil répondait à un sujet assez précis, pas destiné à être un cours général sur les intégrales.
ps : on est plus dans le(s) théorie(s) de la mesure que dans la topologie. ( selon mon vocabulaire )
Dernière modification par ansset ; 27/12/2018 à 00h50.
y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
Oui en effet.
Ceci dit, cela fait aussi référence au message #3 de K.S.
où il confond majoration d'une fonction, avec majoration d'un ensemble de fonctions.
et puis,
effectivement mais de ce que j'en comprends modestement, c'est que l'intégrale de Lebesgue est l'intégrale la plus généralisée dont on peut donner un lien géométrique, mais peut-être pas après tout.
Il existe aussi l'intégrale au sens de Kurzweil-Henstock, qui est une autre extension de l'intégrale de Riemann, mais aussi "puissante" que l'intégrale de Lebesque.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3...zweil-Henstock
l'approche est cependant différente.
y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
ok merci (vais aller voir un peu plus tard)
moi gentil
Dernière modification par Merlin95 ; 27/12/2018 à 01h37.
Pour te répondre, je vais prendre le cas d'une fonction positive, continue sur [a,b[ et sur ]b,c], ayant des limites finies en b à gauche et à droite (c'est l'idée de "continue par morceaux). La fonction F dont tu parles est continue sur [a, b], tu l'admets, continue aussi sur ]b,c], ne serait-ce que comme différence entre la constante qu'est l'intégrale de a à c et l'intégrale de x à c :f
a) la fonction F: I
j'aimerais être sûr mais je ne comprends pas bien pourquoi F est continue, si on fait un dessin l'aire sous la courbe d'une fonction continue par morceaux n'a pas l'air très continue (j'ai trouvé ce théorème dans un bouquin)
Reste la continuité en b, qui, intuitivement, te pose problème : On remplace la valeur V éventuelle de f(b) par la limite de f(x) en b par valeurs inférieure :
cela ne change rien à l'idée intuitive d'intégrale comme aire sous la courbe, puisque la portion d'aire de base [b,b] et de sommets v et V est de mesure nulle (on peut l'inclure dans un "rectangle" d'aire nulle.
Soit alors un x légèrement plus grand que b. Comme f a une limite finie en b+, f est bornée au voisinage de b, donc en prenant x suffisamment proche de b, il existe un M tel que sur ]b,x], on a f(x)<M. L'aire sous la courbe est alors inférieure à M(x-b) qui tend vers 0 quand x tend vers b.
Il y a bien continuité (de l'intégrale).
Ceci est une explication intuitive (*), bien entendu on ne peut pas définir l'intégrale comme "l'aire sous la courbe" puisqu'on ne sait pas définir l'aire de figures compliquée pas des moyens plus simples que l'intégrale (qui donne un outil pour définir justement les aires, les volumes, les flux, ...).
Cordialement.
(*) et incomplète, mais je reste dans l'intuitif.
Dernière modification par gg0 ; 27/12/2018 à 08h52.
