point fixe d'une fonction

[invite7db77d13]

Bonsoir, voici ma première question sur ce forum. Je suis en école d'ingénieur.

j'ai un soucis avec un exercice d'analyse sur les fonctions continues.Voici l'énoncé :
Soit f une fonction numérique définie et continue et positive sur R+.
On suppose que la fonction x->f(x)/x a pour limite l en +l'inf avec l<1.(J'ai nommée cette fonction g)
Montrer que f admet un point fixe.

J'ai plusieurs pistes: si f a un point fixe alors il existe x tel que g(x)=1 mais vu que la limite de g est inférieure a 1 en +l'inf cela me semble étrange ?
J'ai ensuite pensé au TVI mais la fonction g n'est pas continue notamment en 0...
Je suis vraiment perdue, j’espère que quelqu'un pourra me sortir de ce bourbier...

Merci d'avance et joyeuses fêtes !
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[invite23cdddab]

Indice : Quelle est la limite de g(x) en 0 ?

[invite7db77d13]

Merci à vous pour cet indice.
Du coup la limite de g(x) en 0 est +l'infini vu que f(x) est une fonction positive. Cela voudrait dire que sur ]0:+l'inf[ la fonction g est continue est que d'après le TVI elle passe forcément par 1 donc cela revient a dire que f admet un point fixe ?

[gg0]

Bonjour.

Pas nécessairement +oo, car f peut être nulle en 0, et g non définie. f peut même être la fonction nulle. Mais si f(0)=0, le point fixe ...

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7db77d13]

Bonjour,
Du coup il y aurait 2 cas à traiter : - f(x) qui ne s'annule pas en 0 et donc lim g(x) = +l'inf en 0
- et le cas selon lequel f s'annule en 0 et g non définie. Mais du coup ce cas me parait pas très intéressant vu que la limite de g(x) est une F.I
Je vous avoue que je suis un peu embrouillé à présent..

[invite23cdddab]

- Si f(0)=0, alors f a zéro comme point fixe
- Si f(0)>0, alors ...

[invite7db77d13]

D'accord je pense avoir compris,
merci beaucoup !