point fixe d'une fonction
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point fixe d'une fonction



  1. #1
    SimonInsa67

    point fixe d'une fonction


    ------

    Bonsoir, voici ma première question sur ce forum. Je suis en école d'ingénieur.

    j'ai un soucis avec un exercice d'analyse sur les fonctions continues.Voici l'énoncé :
    Soit f une fonction numérique définie et continue et positive sur R+.
    On suppose que la fonction x->f(x)/x a pour limite l en +l'inf avec l<1.(J'ai nommée cette fonction g)
    Montrer que f admet un point fixe.

    J'ai plusieurs pistes: si f a un point fixe alors il existe x tel que g(x)=1 mais vu que la limite de g est inférieure a 1 en +l'inf cela me semble étrange ?
    J'ai ensuite pensé au TVI mais la fonction g n'est pas continue notamment en 0...
    Je suis vraiment perdue, j’espère que quelqu'un pourra me sortir de ce bourbier...

    Merci d'avance et joyeuses fêtes !

    -----

  2. #2
    Tryss2

    Re : point fixe d'une fonction

    Indice : Quelle est la limite de g(x) en 0 ?

  3. #3
    SimonInsa67

    Re : point fixe d'une fonction

    Merci à vous pour cet indice.
    Du coup la limite de g(x) en 0 est +l'infini vu que f(x) est une fonction positive. Cela voudrait dire que sur ]0:+l'inf[ la fonction g est continue est que d'après le TVI elle passe forcément par 1 donc cela revient a dire que f admet un point fixe ?

  4. #4
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : point fixe d'une fonction

    Bonjour.

    Pas nécessairement +oo, car f peut être nulle en 0, et g non définie. f peut même être la fonction nulle. Mais si f(0)=0, le point fixe ...

    Cordialement.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    SimonInsa67

    Re : point fixe d'une fonction

    Bonjour,
    Du coup il y aurait 2 cas à traiter : - f(x) qui ne s'annule pas en 0 et donc lim g(x) = +l'inf en 0
    - et le cas selon lequel f s'annule en 0 et g non définie. Mais du coup ce cas me parait pas très intéressant vu que la limite de g(x) est une F.I
    Je vous avoue que je suis un peu embrouillé à présent..

  7. #6
    Tryss2

    Re : point fixe d'une fonction

    - Si f(0)=0, alors f a zéro comme point fixe
    - Si f(0)>0, alors ...

  8. #7
    SimonInsa67

    Re : point fixe d'une fonction

    D'accord je pense avoir compris,
    merci beaucoup !

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