trouver un potentiel

[invite270c37bc]

bonjour, je cherche à comprendre un petit lien entre et .

Je sais trouver des potentiels à partir d'une fonction de dans . Par exemple :





On trouve
.

Ma question est :

Serait-il possible de faire la même recherche en intégrant une fonction complexe en prenant la fonction correspondante complexe ? J'ai essayé mais sans succès, ou du moins je ne trouvait pas un résultat aussi propre...

Je vous pose la question car j'ai encore du mal à cerner ce qui admet une primitive dans les complexes.

Merci !


P.S.
auriez vous l’amabilité de m'expliquer aussi pourquoi l’hypothèse du chemin C^1 pour une intégrale curviligne est importante ? C^0 c'est pas suffisant ?
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[invite270c37bc]

personne n'a d'idée ?

[invitedd63ac7a]

Par définition on pose :


et la fonction est continue et peut donc être intégrée si le chemin est de classe C^1.

[invitedd63ac7a]

Cette définition se justifie par le fait qu'elle reste invariante quand on change le paramétrage du chemin:
Soit une bijection croissante de [a,b] vers [a', b'] de classe C^1, on montre que :


Si vous n'avez pas de cours sur les variables complexes il existe sur internet le cours de Michèle Audin Analyse complexe que je trouve bien fait et clair.

[A voir en vidéo sur Futura]

[azizovsky]

Je n'ai pas compris tous, mais d'après le terme potentiel (physique), oui, il y'a la 'représentation' complexe du potentiel, par exemple pour un écoulement plan stationnaire d'un fluide ayant un potentiel de la vitesse et une fonction de courant avec :



débit

et les deux sont liées par :

qui sont exactment les équation de Cauchy-Riemann.

la fonction a une dérivé dans le domaine occupé par le fluide en mouvement.
cette fonction est dite potentiel complexe et on peut aussi prendre la fonction : les lignes équipotentiels devient des lignes du courant et vice versa .

[azizovsky]

Il y'a le théorème de Schwarz : https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...8me_de_Schwarz

l'existence d’une fonction potentielle est un problème identique à celui de trouver si la forme est exacte.

[invite270c37bc]

Bonjour et merci pour votre réponse.
Je suis d'accord avec vous mais je ne suis pas sûr que ça réponde au problème, comment est il possible de trouver une primitive de la fonction complexe f ?

[azizovsky]

C'est dans les cours comme ici : http://www.msc.univ-paris-diderot.fr...Chapitre_5.pdf

relations (4,2).

[invitedd63ac7a]

comment est il possible de trouver une primitive de la fonction complexe f ?

Le théorème fondamental est le suivant:
Si U est un ouvert simplement connexe du plan complexe, f une fonction analytique (holomorphe) sur U, z0 un point de U, alors la fonction

définit une fonction analytique sur U, primitive de f. Si l'ouvert n'est pas simplement connexe, l'intégrale risque d'avoir des périodes qui la rendent non uniforme. Il faut alors faire intervenir la théorie des surfaces de Riemann.