[Algèbre] - Liberté d'une famille (pas facile)

[Yukkiaro]

Bonjour à tous ! Bonne année déjà !

J'aurais besoin d'un coup de pouce pour montrer la liberté d'une famille, mais qui est plus difficile que les exercices "classiques" :
Soit a différent de {2kπ | k appartenant à Z}

Soit f1 = sin, f2 = cos, f3 = 1
Soit φ un endomorphisme de E : espace vectoriel des fonctions continues sur [0,a]
J'ai montré que (f1,f2) est une famille libre
J'ai montré que Im(φ) est incluse dans Vect(f1,f2)
J'ai calculé :
φ(f3) = (1-cos(a)).f2 + sin(a).f1
φ(f2) = 1/2*(1-cos²(a)).f2 + 1/2*(a + 1/2*sin(2a)).f1

Je dois montrer que (φ(f2), φ(f3)) est libre.
J'ai écrit : Soit (u,v) appartenant R² tel que uφ(f3) + vφ(f2) = 0
Or (f1, f2) est libre donc pour tout (m,n) appartenant à R², mf1 + nf2 = 0
En particulier pour :
m = u*sin(a) + 1/2*v*(a + 1/2 sin(2a)) = 0
v = u*(1-cos(a)) + 1/2*v*(1-cos²(a)) = 0

Puis-je prendre des valeurs particulières pour a ?
Ou comment je peux utiliser l'inclusion de l'image pour y rendre ?

Cordialement.
Yukki
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[gg0]

Bonjour.

ce que tu écris est confus (tu n'as jamais dit qui était φ, le "En particulier" est incompréhensible ainsi que la suite), mais il est facile de répondre à "Puis-je prendre des valeurs particulières pour a ?". a est un des paramètres de base de ton énoncé, donc même s'il est quelconque, il est fixé (et tu ne connais pas sa valeur) du début.
par contre, il te suffit de traduire jusqu'au bout "uφ(f3) + vφ(f2) = 0" en obtenant u=v=0. Donc résoudre un système assez élémentaire.

Bon travail !

[Yukkiaro]

Merci d'avoir répondu, je vais apporter des précisions.

J'ai bien dit que φ était un endomorphisme de E : espace vectoriel des fonctions continues sur [0,a], (et j'ajoute) qui, à tout élément f de E, associe la fonction g définie par :
Pour tout x appartenant [0, a], g(x) = ∫0 à a : f(t)*sin(x + t)dt

Mais je n'ai plus besoin de φ parce que j'ai déjà calculer φ(f3), φ(f2)


Pour la liberté cela donne :

Soit (u, v) appartenant R² tel que u.φ(f3)(x) + v.φ(f2)(x) = 0
Pour tout x appartenant [0, a] et a =/= {2kπ | k appartenant à Z} u.φ(f3)(x) + v.φ(f2)(x) = 0
=> u*[ (1-cos(a)).f2(x) + sin(a).f1(x) ] + v*[ 1/2*(1-cos²(a)).f2(x) + 1/2*(a + 1/2*sin(2a)).f1(x) ] = 0 (1)


Et pour montrer la liberté, je suis bien embêter car je ne trouve pas de valeurs particulières de x pour obtenir u = v =0 car a ne peut pas prendre toutes les valeurs. Je voulais utiliser le fait que (f1, f2) était libre et écrire la définition pour la faire apparaître dans le calcul précédent en factorisant par f1 et f2. Pour la famille (f1, f2) ça veut dire que :

Soit (m, n) appartenant R² tel que m*f1 + n*f2 = 0
Pour tout x appartenant [0, a] et a =/= {2kπ | k appartenant à Z} m*f1(x) + n*f2(x) = 0
Or on peut réécrire l'expression de (1) par : f1(x)*[sin(a)*u + 1/2*(a + 1/2*sin(2a))*v] + f2(x)*[(1-cos(a))*u + 1/2*(1-cos²(a))*v]

Dites moi si je me trompe mais comme (f1, f2) est libre, puis-je écrire que :

[sin(a)*u + 1/2*(a + 1/2*sin(2a))*v] doit être égale à 0 et que
[(1-cos(a))*u + 1/2*(1-cos²(a))*v] doit être égale à 0 ?

Comme ça je fais apparaître un système ? Est-ce le système dont vous parliez ?



On m'a donné comme conseil d'exprimer φ(f3), φ(f2) en fonction de f1 et f2, (f1,f2) étant une famille libre et Im(φ) est incluse dans Vect(f1, f2). Est-ce que l'inclusion peut m'aider ?


Cordialement

[Yukkiaro]

Cela à l'air de fonctionner, puisqu'on obtient un système à 2x2 pour prouver la liberté de (φ(f3),φ(f2)) en utilisant celle de (f1, f2) (en écrivant les définitions pour les deux).

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Ben oui, c'est évident que si on applique les règles, on obtient quelque chose de vrai (compte tenu des hypothèses) et que si ça permet de faire le calcul utile, il n'y a plus qu'à le faire. C'est pourquoi il est surprenant que tu perdes ton temps à poser ces questions, au lieu de finir d'appliquer des règles de maths.

Bon travail personnel !