Fonction somme diviseurs, formules déjà existantes ?

[Meiosis]

Bonsoir,

Je viens ici suite à un travail personnel qui m'a amené à trouver quelques formules sur la somme des diviseurs d'un entier. Dans ce poste cela désignera tous les diviseurs (l'entier lui-même compris).

J'aimerais savoir si ces formules existent déjà, si elles sont utiles, triviales, faciles à démontrer etc. J'ai un niveau terminale S en maths, je n'ai pas continué dans cette branche après le bac mais en biologie.

Je vais vous présenter 6 de ces formules.

Première formule :



désigne le nième nombre premier et

Deuxième formule :

Soient , cette formule s'applique quand il n'existe que deux identiques (en l'occurence \sigma(n) et \sigma(m) ici) et quand [tex\sigma(n)-1 est un nombre premier.[/tex]


On cherche ensuite b tel que [tex\sigma(b) = a[/tex]
On a alors [tex\sigma(b+n) = \sigma(n)[/tex]

Exemple avec [tex\sigma(6) = 12[/tex]

Il n'y a que deux donnant 12 (et 12-1 est premier).


On cherche ensuite b tel que [tex\sigma(b) = 6[/tex], il s'agit de
On a alors [tex\sigma(5+6) = \sigma(11)[/tex] et

On a donc calculé l'écart de 5.

Troisième formule :

Pour et premier.









Exemple avec




Donc car et

Quatrième formule :

Il existe une infinité de

Exemple avec
Aussi

Cinquième formule :

Pour p premier.

On a

Exemple avec


Sixième formule :

Pour et premier.


k entier naturel.

Exemple avec n = 102293 premier



Je vous remercie par avance pour vos réponses.
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[Meiosis]

Pour la fin l'exemple est bien entendu avec n = 102259 premier

[jeanlouisb]

je ne sais si je répond exactement à ton souci mais pour trouver une formule qui donne la somme s(n) des diviseurs de n j’exhiberai d'abord tous les diviseurs de n.
tu sais que la décomposition de n en produit de facteurs premier est unique.
N = p1^k1.p2^k2....pm^km. où pi est premier.
tu connais tous les diviseurs de chaque pi^ki, à savoir 1, pi ,pi², ... , pi^ki.
Pour former un diviseur de n il faut prendre un seul élément de chaque paquet i et les multiplier entre eux:
exemple 1x1x1....x1 m fois, est un diviseur de n,
p1^k1xp2^k2....x pm^km = n est un diviseur de n,
1xp2x1xp4²x... x1 (m facteurs) en est un autre.
Exemple avec n= 756 = 2²3³7
1x1x1=1 est un diviseur,
2²x3³x7= 756 en est un aussi,
1x3²x7 = 63 en est un autre (différent par construction même car décomposition différente en produit de facteurs premiers)
etc...
Tu vois donc que leur nombre est (k1+1)x(k2+2)x...(km+1) puisqu'il y en a ki+1 dans chaque paquet et qu'il faut en prendre un et un seul par paquet.
donc 756 a 3x4x2 = 24 diviseurs (vérifies le).
Maintenant pour calculer s(n) il faut écrire leur somme:
s(n) = sigma(p1^a1p2^a2...pm^am), somme sur tous les n-uplets (a1,a2,...,am) de [[0,k1]]x[[0,k2]]x...[[0,km]]. (pi⁰ = 1)
Bien sur si n = p^k avec p premier on sait faire (somme des termes d'une progression géométrique: s(n) = 1+p+...p^k = (p^k+1-1)/(p-1) .
Voilà si m>1 c'est plus difficile.
Désolé mais je ne sais pas utiliser TEX mais je pense que tu pourras lire: bien sur pour p3,am,km il faut lire p₃,a_m,k_m ,...

[Meiosis]

En fait je souhaiterais savoir si les 6 formules que j'ai mises sont déjà connues.

Pour la 6ème plus la peine, c'était trivial...

Mais j'aimerais bien vos avis pour les autres.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Meiosis]

Bonjour,

Je cherche à démontrer une formule mais je ne sais pas du tout comment faire.

Soit la somme des diviseurs de n, n compris.
S'il n'existe que deux identiques, que , qu'il n'existe qu'un unique tel que et que n'est pas premier alors on a :
Si est premier alors on a :

3 exemples :

1) Il n'y a que deux identiques donnant 31 : et .
16 est pair.
Il n'y a qu'un unique , il s'agit de .
n'est pas premier.
On a :

On a trouvé le second donnant 31 en partant de .

2) Il n'y a que deux identiques donnant 56 : et .
28 est pair.
Il n'y a qu'un unique , il s'agit de .
n'est pas premier.
On a :

On a trouvé le second donnant 56 en partant de .

3) Il n'y a que deux identiques donnant 18 : et .
10 est pair.
Il n'y a qu'un unique , il s'agit de .
est premier.
On a :

On a trouvé le second donnant 18 en partant de .

Merci à vous.




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