Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 5 sur 5

Fonction somme diviseurs, formules déjà existantes ?



  1. #1
    Meiosis

    Fonction somme diviseurs, formules déjà existantes ?

    Bonsoir,

    Je viens ici suite à un travail personnel qui m'a amené à trouver quelques formules sur la somme des diviseurs d'un entier. Dans ce poste cela désignera tous les diviseurs (l'entier lui-même compris).

    J'aimerais savoir si ces formules existent déjà, si elles sont utiles, triviales, faciles à démontrer etc. J'ai un niveau terminale S en maths, je n'ai pas continué dans cette branche après le bac mais en biologie.

    Je vais vous présenter 6 de ces formules.

    Première formule :



    désigne le nième nombre premier et

    Deuxième formule :

    Soient , cette formule s'applique quand il n'existe que deux identiques (en l'occurence \sigma(n) et \sigma(m) ici) et quand [tex\sigma(n)-1 est un nombre premier.[/tex]


    On cherche ensuite b tel que [tex\sigma(b) = a[/tex]
    On a alors [tex\sigma(b+n) = \sigma(n)[/tex]

    Exemple avec [tex\sigma(6) = 12[/tex]

    Il n'y a que deux donnant 12 (et 12-1 est premier).


    On cherche ensuite b tel que [tex\sigma(b) = 6[/tex], il s'agit de
    On a alors [tex\sigma(5+6) = \sigma(11)[/tex] et

    On a donc calculé l'écart de 5.

    Troisième formule :

    Pour et premier.









    Exemple avec




    Donc car et

    Quatrième formule :

    Il existe une infinité de

    Exemple avec
    Aussi

    Cinquième formule :

    Pour p premier.

    On a

    Exemple avec


    Sixième formule :

    Pour et premier.


    k entier naturel.

    Exemple avec n = 102293 premier



    Je vous remercie par avance pour vos réponses.

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    Meiosis

    Re : Fonction somme diviseurs, formules déjà existantes ?

    Pour la fin l'exemple est bien entendu avec n = 102259 premier

  4. #3
    jeanlouisb

    Re : Fonction somme diviseurs, formules déjà existantes ?

    je ne sais si je répond exactement à ton souci mais pour trouver une formule qui donne la somme s(n) des diviseurs de n j’exhiberai d'abord tous les diviseurs de n.
    tu sais que la décomposition de n en produit de facteurs premier est unique.
    N = p1k1.p2k2....pmkm. où pi est premier.
    tu connais tous les diviseurs de chaque piki, à savoir 1, pi ,pi2, ... , piki.
    Pour former un diviseur de n il faut prendre un seul élément de chaque paquet i et les multiplier entre eux:
    exemple 1x1x1....x1 m fois, est un diviseur de n,
    p1k1xp2k2....x pmkm = n est un diviseur de n,
    1xp2x1xp42x... x1 (m facteurs) en est un autre.
    Exemple avec n= 756 = 22337
    1x1x1=1 est un diviseur,
    22x33x7= 756 en est un aussi,
    1x32x7 = 63 en est un autre (différent par construction même car décomposition différente en produit de facteurs premiers)
    etc...
    Tu vois donc que leur nombre est (k1+1)x(k2+2)x...(km+1) puisqu'il y en a ki+1 dans chaque paquet et qu'il faut en prendre un et un seul par paquet.
    donc 756 a 3x4x2 = 24 diviseurs (vérifies le).
    Maintenant pour calculer s(n) il faut écrire leur somme:
    s(n) = sigma(p1a1p2a2...pmam), somme sur tous les n-uplets (a1,a2,...,am) de [[0,k1]]x[[0,k2]]x...[[0,km]]. (pi0 = 1)
    Bien sur si n = pk avec p premier on sait faire (somme des termes d'une progression géométrique: s(n) = 1+p+...pk = (pk+1-1)/(p-1) .
    Voilà si m>1 c'est plus difficile.
    Désolé mais je ne sais pas utiliser TEX mais je pense que tu pourras lire: bien sur pour p3,am,km il faut lire p3,am,km ,...

  5. #4
    Meiosis

    Re : Fonction somme diviseurs, formules déjà existantes ?

    En fait je souhaiterais savoir si les 6 formules que j'ai mises sont déjà connues.

    Pour la 6ème plus la peine, c'était trivial...

    Mais j'aimerais bien vos avis pour les autres.

  6. #5
    Meiosis

    Démonstration formule somme diviseurs

    Bonjour,

    Je cherche à démontrer une formule mais je ne sais pas du tout comment faire.

    Soit la somme des diviseurs de n, n compris.
    S'il n'existe que deux identiques, que , qu'il n'existe qu'un unique tel que et que n'est pas premier alors on a :
    Si est premier alors on a :

    3 exemples :

    1) Il n'y a que deux identiques donnant 31 : et .
    16 est pair.
    Il n'y a qu'un unique , il s'agit de .
    n'est pas premier.
    On a :

    On a trouvé le second donnant 31 en partant de .

    2) Il n'y a que deux identiques donnant 56 : et .
    28 est pair.
    Il n'y a qu'un unique , il s'agit de .
    n'est pas premier.
    On a :

    On a trouvé le second donnant 56 en partant de .

    3) Il n'y a que deux identiques donnant 18 : et .
    10 est pair.
    Il n'y a qu'un unique , il s'agit de .
    est premier.
    On a :

    On a trouvé le second donnant 18 en partant de .

    Merci à vous.




    Les doublons étant interdits, merci de continuer sur le fil déjà consacré au sujet, ouvert par vous-même.
    Dernière modification par albanxiii ; 21/01/2019 à 19h18.

  7. A voir en vidéo sur Futura

Sur le même thème :

Discussions similaires

  1. Réponses: 8
    Dernier message: 12/11/2018, 21h50
  2. Problème sur la somme des diviseurs
    Par Cheesecake dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 7
    Dernier message: 15/12/2013, 20h46
  3. Somme de diviseurs.
    Par brune555 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 3
    Dernier message: 26/12/2012, 23h38
  4. Réponses: 4
    Dernier message: 07/03/2011, 18h22
  5. Diviseurs d'une somme de puissances d'entiers
    Par Seirios dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 3
    Dernier message: 14/07/2009, 23h19