notation différentielle

[mr green genes]

Bonjour,



depuis le lycée je rencontre régulièrement cette notation qui consiste à écrire df/dx pour désigner la dérivée de f par rapport à x. Une notation qui n'a jamais eu guère de sens à mes yeux. Or pour m'approprier un peu une notion j'ai besoin qu'elle fasse un tout petit peu sens intuitivement pour moi, donc j'aimerais que vous m'aidiez à comprendre pourquoi on écrit ça comme ça. C'est quoi df ? c'est quoi dx ? df/dx ça représente vraiment un quotient ?

Bon je sais aussi ce qu'est un nombre dérivé donc je vois bien qu'il pourrait y avoir un lien entre (f(x)-f(a))/(x-a) et df/dx du coup df ça représenterait f(x)-f(a) ? La limite de f(x)-f(a) lorsque x tend vers a ?



Du coup le problème c'est qu'ensuite cette notation se retrouve lorsqu'on aborde les dérivées partielles... sauf que du coup on note δf/δx ou δf/δy ... pourquoi ce choix de passer de d à delta ? Ça a l'air anodin mais je suis sûr qu'il y a une raison, les matheux sont des gens rationnels, s'ils changent de lettre ça doit vouloir dire quelque chose ... Et c'est sans compter les dérivées partielles d'ordre supérieur à 1 où là ça se complique carrément, la logique de la notation différentielle est ici poussée dans ses retranchements avec des δ³f/δxδyδx ça devient sportif.

Le passage de df à δf est sans doute en rapport avec le fait qu'il existe des fonctions différentielles, qu'on note df donc c'est à cette fonction différentielle qu'on a octroyé la notation df. Bon ben du coup ce df là, il a un rapport avec le df de l'expression df/dx je suppose ?



Bref, j'avais presque fini par me contenter du fait que df/dx c'était en rapport avec (f(x)-f(a))/(x-a) et ça pouvait m'aller comme ça. Mais l'apparition des dérivées partielles et des fonctions différentielles dans ma vie est venu tout compliquer
-----

[albanxiii]

Bonjour,

En formules : , étant la notation habituelle pour désigner une différence ( abrège et ).

Pour les fonctions de plusieurs variables, la notation est : par exemple. Cela permet de savoir que la fonction dépend de plusieurs variables quand on utilise la notation abrégée .

Si vous avez compris ce qu'est une dérivée, le reste n'est qu'affaire de convention de notations et ne devrait pas poser de problème.

[stefjm]

Bonjour,
La notation est pratique car mnémotechnique "rigoureuse", ie pas un truc genre 4aboqphié/4pir^2. Cela marche comme linéarisation (développement limité au premier ordre) des fonctions considérées (comme signalé par alban).

Trois exemples (avec notation usuelles) :
Développement limité au premier ordre


Dérivée de fonctions composées d'une variable ou changement de variables dans les intégrales


Différentielle


En espérant n'avoir pas dit trop de bêtises...

[gg0]

Bonjour Mr green genes.

La notation est un tout, essayer de comprendre une signification aux morceaux est-il utile ? D'ailleurs je remarque que tu n'es pas allé au bout de la démarche tu ne demandes pas qui est d.

Ces notations ont une origine historique, et aussi une assise mathématique dans une théorie que tu ne sembles pas connaître, celle des formes différentielles. L'origine de la notation est dans la création de la notion de dérivée par Leibnitz (à la même époque que Newton, de façon indépendante et différente). Son idée est que si y est une quantité qui varie quand x varie, la variation de y quand x varie de donne une idée de la rapidité de variation de y. Pour mathématiser cette idée, il utilise le rapport , analogue à une vitesse moyenne. Puis lorsque devient quasi nul, "évanouissant", "infiniment petit", le rapport donne la rapidité de variation locale, la dérivée. Pour exprimer que ce sont maintenant des infiniment petits, Leibnitz écrit le rapport et pour lui, dx et dy sont des infiniment petits.
Cette façon d'écrire donne des calculs faciles (*), critiqués par les épigones de Newton, mais finalement adoptés pendant 2 siècles par les mathématiciens, jusqu'à ce qu'on définisse clairement la notion de limite au début du XIX^e siècle et la définition actuelle de dérivée. Quant aux infiniment petits, personne n'a su les définir clairement à cette époque, et ce n'est qu'au XX^e siècle qu'ils sont réapparus dans les travaux de logique de Robinson (calcul non standard), justifiant tout à coup les idées de Leibnitz (mais ce ne sont pas les infiniment petits de Leibnitz) et permettant de comprendre pourquoi le calcul avec dx et dy réussit.
Dans la même ordre d'idée, s'est développé un calcul intuitif sur les différentielles, les quantités dx et dy en elles même, très prisé par les physiciens : si y est fonction de x, de dérivée y', alors dy=y' dx. Ce calcul fonctionne souvent bien, mais il arrive qu'il donne des résultats totalement faux quand on manque d'attention. Comme en physique, les significations et règles d'unités servent de garde fou, peu de risque. C'est aussi un calcul essentiel pour les fonctions de plusieurs variables, très fréquentes en physique. Mais les matheux s'en sont vite méfiés, jusqu'à l'apparition de la théorie moderne des formes différentielles. Mais même si on peut donner maintenant un sens mathématique à dx et dy, ce n'est pas une "signification" simple, plutôt une construction théorique élaborée (idée de dualité).
Enfin, pour les fonctions de plusieurs variables, la notion élémentaire de dérivée perd son sens (par contre, celle de différentielle devient prioritaire !), donc pour éviter les confusions, on a remplacé le d par pour bien saisir ce qui se passe

En bilan : Il suffit de connaître l'idée historique de la notation, et les significations imprécises (donc mathématiquement fausses) qui ont présidé à la création de la notation. Elle n'est d'ailleurs pas géniale (écrire df, à la place de dy est une déformation malsaine, f n'est pas de même nature que x) et vite incompréhensible pour les dérivées partielles (voir le sujet https://forums.futura-sciences.com/m...artielles.html). D'ailleurs, on utilise de plus en plus pour la dérivée partielle par rapport à la i-ième composante.

Cordialement.

(*) exemple : si y=x², dy=(x+dx)²-x² = 2xdx+dx² et on néglige le dx² qui est infiniment petit par rapport à 2x dx. Puis, en divisant par x, on trouve y' = 2x.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mr green genes]

En tendu merci bien pour les précisions, notamment la précision historique

Pour la notation δ_i ce n'est pas parvenu jusqu'à moi pour le moment

A bientôt