Diviser un nombre de k chiffre

[Bartoutatis]

Bonjour,

Voila mon problème : Soit un nombre décimale I_k= 11111...1 avec un nombre k de 1. Peut-on trouver k tel que I_k soit divisible par un certains nombre A ?

Celui fait quelques temps maintenant que je planche dessus, j'ai fais plusieurs tentatives, reformulation en terme série géométrique, congruence, décomposition en facteurs premiers, je n'arrive cependant à rien. Auriez-vous un indice à me donner, une voie à explorer ? (PAS LA SOLUTION SVP)

Merci
-----

[choom]

Bonjour.
Il me semble, intuitivement : je peux me tromper, que ce que tu cherches est une formule autre que récursive ( comme le sont les cribles dérivés d’Erathostène) pour déterminer les nombres premiers.
Dans ce problème-ci, I_k est construit comme ( I_k-1 x 10 ) + 1 .
Or le même problème existe déjà pour des nombres successifs I_k = I_k-1 + 1
Cela doit faire quelques siècles que des mathématiciens recherchent celà, non ?
Choom

[gg0]

Bonjour.

Ta question est classique. En général, on considère le nombre I_k+1 qui a une écriture mathématique simple. Donc ce que tu as appelé "reformulation en terme série géométrique", puis la suite des restes modulo A des différents numérateurs.

J'imagine que tu as déjà mis de côté le cas A pair.

Cordialement

[minushabens]

ces nombres sont appelés "repunit" (repeated unit)

[A voir en vidéo sur Futura]

[eudea-panjclinne]

Soit un nombre décimale I_k= 11111...1 avec un nombre k de 1. Peut-on trouver k tel que I_k soit divisible par un certains nombre A ?

si k=np, n et p entiers naturels, distincts de 1, alors I_k est divisible par (10^n-1)/9 =I_n et par (10^p-1)/9=I_p.