[L1] Petite démonstration

[naegiko]

Bonjour à tous,

Je dois démontrer la proposition mise en annexe.



J'ai formulé le raisonnement suivant:

Par l'absurde on suppose, pour tout pour tout x appartenant à IR, b < x implique a < x et a > b est vraie.

Or cela revient à dire que pour tout x appartenant IR, (b >= x ou a < x) et a > b
donc pour tout x appartenant à IR, b >= x et a > b ou a < x et a > b

Si x = a,
b > a et a > b
donc b >= a et b < a
ce qui est impossible;

et si x = a,
a < a et a > b
or a < a est absurde.

Donc la proposition de départ est vraie.

Je ne sais pas si mon raisonnement est correct, je vous remercie profondément d'avance de me dire si ma démonstration tient la route ou non.
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[gg0]

Bonjour.

Je ne comprends pas grand chose à ce que tu dis, une phrase comme "pour tout pour tout x appartenant à IR, b < x implique a < x et a > b est vraie" n'est pas facilement lisible et peut même avoir plusieurs significations. Encore, comme c'est la première, on arrive à penser savoir ce que tu veux dire.

Ne t'embête pas avec une preuve par l'absurde alors qu'une simple contraposition suffit : On part de a>b et on exhibe un x qui ne vérifie pas b < x implique a < x, c'est à dire un x supérieur à b, mais pas à a (facile, non ?)

Si tu tiens vraiment à ta preuve, rédige-la avec le parenthésage adéquat, et corrige l'absurde forme :
Si x = a,
...
et si x = a,
...

Cordialement.

[naegiko]

Bonjour gg0,

(d'abord, merci pour le temps que tu prends pour m'aider)

ça donnerait donc:

Raisonnons par contraposition.
Soit a, b, x réels.

si on a, a > b, alors pour x = (b + (| b - a |/2)), l'implication (b < x) implique (a < x) n'est pas vérifiée.

Donc la proposition de départ est vérifiée.

[naegiko]

J'oubliais, pour corriger le raisonnement par l'absurde je pense que ça donnerait ça:

Raisonnons par l'absurde, on suppose que: (pour tout x appartenant à IR, (b < x) implique (a < x)) et a > b est une proposition vraie.
Or si x appartient à ]b, a[ l'implication "(pour tout x appartenant à IR, (b < x) implique (a < x))" est fausse.
Donc la proposition est fausse.

De fait la proposition énoncée au départ est vraie.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Je suppose que dans ton deuxième message, tu intègres ce que tu disais au message #3.
Dans le premier, il est essentiel, pour une bonne rédaction, d'écrire clairement ce qu'on prouve, avant de contraposer (et d'écrire la contraposée) :
Si a>b, alors il existe un un x (=(a+b)/2) tel que b<x et a >=x
Par contraposition :
Si (pour tout x, b<x ==> a<x) alors a<=b.

Cordialement.

[naegiko]

Oui

Merci énormément à toi gg0!