Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 26 sur 26

Point appartenant à un segment




  1. #1
    Komana

    Point appartenant à un segment

    Bonjour,

    J'ai une question un peu bête. Pardon pour la formulation hasardeuse!

    Si l'on considère un segment K définit par deux points [x,y], comment arriver à cette relation :

    t*x+(1-t)*y = c

    c est un point qui appartient au segment K
    t compris entre 0 et 1


    Merci

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    albanxiii

    Re : Point appartenant à un segment

    Bonjour,

    Si vous connaissez la notion de barycentre c'est immédiat. Sinon, vous pouvez calculer c-x et y-c pour voir que c est compris entre x et y.
    Not only is it not right, it's not even wrong!

  4. #3
    Tryss2

    Re : Point appartenant à un segment

    De façon générale,

    parcourt le segment [AB] quand t parcours [0,1]

    Ce qui se traduit en


  5. #4
    ansset

    Re : Point appartenant à un segment

    pardon pour ce complément, mais dans l'esprit pour Komana de bien transposer l'équation de Tryss.
    bien sur dans celle-ci si a=x et b=y, le t de sa formule correspond à 1-t de l'équation initiale.
    ce qui ne change rien car t est compris entre 0 et 1.
    Cdt
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  6. #5
    minushabens

    Re : Point appartenant à un segment

    Quelle est la définition du segment AB? (j'aurais spontanément pris la propriété en question comme définition)

    est-ce : l'ensemble des points de la droite (A,B) tels que l'une des demi-droites issue de ce point contient A et l'autre contient B ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Komana

    Re : Point appartenant à un segment

    Merci pour vos réponses, effectivement la notion de barycentre ne m'est pas étrangère!

    Mais à la base, j'essayais d'arriver à la forme t*A+(1-t)*B = C via le système :

    Soit les points A (Ax ; By) et B (Bx ; By)

    a*Ax + b = Ay
    a*Bx + b = By

    ==> expression de a et b en fonction de Ax, Ay et Bx, By

    a*Cx + b = Cy

    Ax<Cx<Bx
    Ay<Cy<By


    ==> expression de Cx et Cy en fonction de A et B
    ==> reformulation pour arriver à la forme t*A+(1-t)*B = C

    Mais je tourne en rond dans les calculs!
    Dernière modification par Komana ; 01/02/2019 à 12h58.

  9. #7
    Komana

    Re : Point appartenant à un segment

    Citation Envoyé par albanxiii Voir le message
    Bonjour,

    Si vous connaissez la notion de barycentre c'est immédiat. Sinon, vous pouvez calculer c-x et y-c pour voir que c est compris entre x et y.
    Re-bonjour,

    j'ai essayé de retomber sur la forme t*x+(1-t)*y = c en calculant c-x et y-c mais je ne trouve, je crois qu'il me manque quelque chose car je tourne en rond.

  10. Publicité
  11. #8
    gg0

    Re : Point appartenant à un segment

    Sachant que t*Ax+(1-t)*Bx = Cx, il est facile de calculer t*Ay+(1-t)*By et de conclure.

    Cordialement.

  12. #9
    Komana

    Re : Point appartenant à un segment

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Sachant que t*Ax+(1-t)*Bx = Cx, il est facile de calculer t*Ay+(1-t)*By et de conclure.

    Cordialement.
    Merci gg0 pour ta réponse.
    La question qui me titille toujours, c'est comment à partir de deux points A(Ax,Ay), B(Bx,By) retrouver la relation t*A+(1-t)*B = C

  13. #10
    ansset

    Re : Point appartenant à un segment

    je ne comprend pas pourquoi s'embarquer dans un espace à deux dimension alors que le sujet est sur un seul axe et concerne un segment [x,y] de cet axe.
    ce n'est pas parce qu'on utilise un "y" que l'on se place en deux dimensions.
    On est sorti du sujet initial et le fil est devenu "confusionnant"......( voire HS )
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  14. #11
    Komana

    Re : Point appartenant à un segment

    Oui, c'est vrai que c'est plus simple à une dimension.

    Pour résumer :

    Soit un segment [AB]. Comment retrouver la relation t*A+(1-t)*B= C , C appartenant au segment [AB] et t compris [0,1].

    - albanxiii propose de calculer C-A et B-C pour voir que C est compris entre A et B, mais je n'arrive pas à retomber sur t*A+(1-t)*B= C (mes compétences sont vraisemblablement limitées...)

    - en deux dimensions, j'ai essayé d'utiliser l'équation d'une droite ax+b=y pour relier A, B et C (voir message #6), sans succès.

    Il y a quelque chose qui échappe à mon sens logique, ce qui fait que je tourne en rond dans les calculs. C'est surement très simple mais je n'arrive pas à le voir.
    Dernière modification par Komana ; 01/02/2019 à 15h47.

  15. #12
    gg0

    Re : Point appartenant à un segment

    Pour retrouver ta relation t*A+(1-t)*B= C il faut savoir ce qu'elle signifie. Donc quelle signification a t*A pour toi, quand A est un point.

    Depuis le début, tu parles dans le vide ...
    Dernière modification par gg0 ; 01/02/2019 à 16h21.

  16. #13
    albanxiii

    Re : Point appartenant à un segment

    Citation Envoyé par Komana Voir le message
    - albanxiii propose de calculer C-A et B-C pour voir que C est compris entre A et B, mais je n'arrive pas à retomber sur t*A+(1-t)*B= C (mes compétences sont vraisemblablement limitées...)
    Ça n'est pas ce que j'ai proposé, puisqu'entre temps vous avez changé le contexte de la question.

    Si on revient à la droite réelle et les notations du message #1, on a c-x = (1-t)(y-x) >= 0 et y-c = t(y-x) >= 0, donc c est compris entre x et y.

    A ce point de la discussion, il serait convenable de bien préciser dans quel cadre vous vous placez.
    Not only is it not right, it's not even wrong!

  17. #14
    Komana

    Re : Point appartenant à un segment

    Citation Envoyé par albanxiii Voir le message
    Ça n'est pas ce que j'ai proposé, puisqu'entre temps vous avez changé le contexte de la question.

    Si on revient à la droite réelle et les notations du message #1, on a c-x = (1-t)(y-x) >= 0 et y-c = t(y-x) >= 0, donc c est compris entre x et y.

    A ce point de la discussion, il serait convenable de bien préciser dans quel cadre vous vous placez.
    Je vois mieux, merci.

    gg0 je me suis peut être mal exprimé, mais tes messages sont tous à côté de la plaque. Avant de parler de vide, peut être faire l'effort de lire attentivement ?

  18. #15
    gg0

    Re : Point appartenant à un segment

    Heu ... Komana,

    avant de dire aux connaisseurs de lire attentivement, toi qui reconnais "mes compétences sont vraisemblablement limitées", tu pourrais te rendre compte que si on est deux à te demander de préciser de quoi tu parles, c'est qu'il y a peut-être un problème.

    Ce que tu écris est vide pour moi, car je ne sais pas ce que tu appelles t*A. Je connais deux contextes (au moins) où cette notation a un sens, mais tu ne t'es pas mis dans ces contextes. peut-être par manque de connaissances mathématiques, ta question a été interprétée au départ comme concernant les réels (*), puis tu as fait intervenir des coordonnées. Je t'ai donné au message #8 une indication correspondant au contexte où le plan est R² et où le point est le couple de ses coordonnées. Cette méthode s'adapte aussi au cas où on fait la différence. Manifestement, sous prétexte que "tu te perds", tu n'as pas essayé de faire suivant cette indication ...
    Finalement, que veux-tu ? Qu'on fasse ton travail à ta place ? Ce n'est pas la règle du forum.

    Cordialement.

    (*) eh oui ! on appelle aussi "points" les réels, ce sont des points de la droite des réels.

  19. #16
    Komana

    Re : Point appartenant à un segment

    gg0, tu vois toi même que je suis novice. Quelle est l'utilité de dire à un novice qu'il parle dans le vide? Je n'ai pas définis de contexte car c'est précisément ce qui m'échappe, ce que je ne sais pas faire. Mais quand un débutant parle d'un segment défini par deux points, on peut vraisemblablement supposer qu'il s'agit d'un plan R², non? C'est ce qu'à fait albanxiii, et ses réponses m'ont permis de mieux comprendre. Je n'ai pas compris ton message #8 parce que tu as écris "Sachant que t*Ax+(1-t)*Bx = Cx" alors que c'est ce que j'essaye de retrouver.

    "Finalement, que veux-tu ? Qu'on fasse ton travail à ta place ?", bien dommage de me sortir ça parce que :
    - il ne s'agit pas d'un travail que j'ai à rendre, je suis juste naïvement curieux
    - j'ai essayé des choses (et j'y ai même passé du temps...), par exemple voir mon message #6.

    Je suis tombé sur la relation t*A+(1-t)*B= C en lisant la définition d'un ensemble convexe.

    Bref, merci gg0 de prendre du temps pour me répondre. Je réalise que je n'ai pas fais assez d'effort de formulation. Si tu le veux bien, peux-tu m'aider à formuler ma question pour qu'elle fasse du sens mathématiquement ?

    Si j'essaye, ça donne ça :

    On suppose travailler dans un espace affine sur R, où le segment [A,B] reliant deux points quelconques A et B a un sens. Les points A et B sont définis par leurs coordonnées, A(Ax,Ay) et B(Bx, By). Ax<Bx et Ay<By.
    Comment retrouver la relation t*A+(1-t)*B= C , avec C un point de coordonnées C(Cx,Cy) appartenant au segment [A,B] et t un réel compris entre 0 et 1 ? En décomposant la relation on a : t*Ax+(1-t)*Bx= Cx et t*Ay+(1-t)*By= Cy

    Je comprends bien que la relation est évidente en utilisant les notions de barycentre/vecteur. En faite, ma question est plutôt: est-ce possible de retrouver la relation en utilisant l'équation d'une droite? J'ai essayé sans succès (voir message #6).

    Cordialement.
    Dernière modification par Komana ; 03/02/2019 à 11h50.

  20. #17
    ansset

    Re : Point appartenant à un segment

    @Komana:
    très clairement ton premier post porte sur un segment de R ( à UNE dimension )
    certains ont fait remarquer que cette propriété était aussi valable qcq soit la dimension.
    et tu es parti dans cette voie sans être très clair sur les notations.
    En faite, ma question est plutôt: est-ce possible de retrouver la relation en utilisant l'équation d'une droite? J'ai essayé sans succès
    bien sur, il suffit d'appliquer proprement le message #3 de Tryss.
    en prenant les deux coord de chaque point ( si tu veux retrouver la relation dans le plan R² )
    ps :
    Les points A et B sont définis par leurs coordonnées, A(Ax,Ay) et B(Bx, By). Ax<Bx et Ay<By.
    ces conditions ne sont pas nécessaires.
    Dernière modification par ansset ; 03/02/2019 à 12h11.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  21. #18
    ansset

    Re : Point appartenant à un segment

    mais je t'invite à écrire ton équation de droite sous une forme paramétrée.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  22. #19
    minushabens

    Re : Point appartenant à un segment

    Citation Envoyé par Komana Voir le message
    On suppose travailler dans un espace affine sur R, où le segment [A,B] reliant deux points quelconques A et B a un sens.
    oui mais quel sens? l'idée intuitive que tu te fais d'un segment n'est pas suffisante. Il faut en donner une définition précise.

  23. #20
    minushabens

    Re : Point appartenant à un segment

    voici par exemple la définition de Hilbert du segment AB. Hilbert a déjà défini la droite (A,B) et il commence par définir une relation ternaire, appelée en anglais "betweeness" (je ne sais pas comment traduire ce mot) : si A,B,C sont 3 points distincts du plan, on dit que C est entre A et B et on note A*C*B la relation vérifiant les 3 axiomes suivants:
    1) si A*C*B alors B*C*A et A,B,C appartiennent à la même droite du plan.
    2) de 3 points distincts du plan appartenant à la même droite, un et un seul est entre les deux autres.
    3) si A et B sont deux points distincts il existe un point C tel que A*B*C

    ça n'est pas évident de voir que ces axiomes sont compatibles avec la notion intuitive de point C d'un segment AB, il faut un peu de travail.

    Ensuite il définit le segment AB comme la réunion de A, B et tous les points entre A et B
    Dernière modification par minushabens ; 03/02/2019 à 14h12.

  24. #21
    Komana

    Re : Point appartenant à un segment

    Merci pour vos réponses.

    Voilà où j'en suis en partant des équations de droite (désolé pour le format), et pour le cadre posé message #16.
    Ansset, équation de droite paramétrée et cartésienne c'est la même chose?
    IMG_20190203_173346.jpg
    Dernière modification par Komana ; 03/02/2019 à 16h48.

  25. #22
    ansset

    Re : Point appartenant à un segment

    c'est tellement confus que je n'y comprend rien.
    soit A(Ax;Ay) B(Bx,By)
    un point C(Cx,Cy) app à la droite AB ssi
    Cx=Ax+t(Bx-Ax)
    Cy=Ay+t(By-Ay)
    On note au passage que C=A si t=0 et C=B si t=1.
    si t n'app pas à [0;1] C est sur la droite AB mais à l'extérieur du "segment" [AB]

    Ce qui revient, pour toute coord i
    Ci=(1-t)Ai+tBi
    qui est la même équation que
    Ci=t'Ai+(1-t')Bi en posant t'=1-t
    et t app [0;1] est equiv à t' app [0,1]
    Dernière modification par ansset ; 03/02/2019 à 18h36.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  26. #23
    ansset

    Re : Point appartenant à un segment

    d'ailleurs tu peux voir que dans ton équation initiale sur un segment de R
    t*x+(1-t)*y = c
    si t=0 c=y et si t=1 c=x.
    bref en fct de t ds [0;1] c(t) parcourt le segment en partant de y jusqu'à x.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  27. #24
    azizovsky

    Re : Point appartenant à un segment

    avec du simple : tx+(1-t)y=c

    t(x-y)+y=c

    y-t(y-x)=c ,y-x la longueur du segment 0<t<1

    y- la la longueur du segment (contractée t<1)=c

    c'est géométriquement compréhensible...

  28. #25
    gg0

    Re : Point appartenant à un segment

    Komana,

    maintenant que tu as bien défini que que tu veux faire (à défaut de répondre à ma question du message #12 - reposée au #15), tu peux utiliser ce que je te proposais au message #8 :
    Sachant que t*Ax+(1-t)*Bx = Cx, il est facile de calculer t*Ay+(1-t)*By et de conclure.
    Pourquoi sait-on que t*Ax+(1-t)*Bx = Cx ? simplement parce que on sait que Cx est entre Ax et Bx, et cela t'a été expliqué aux message #2 et #3.
    Puis tu reprends tes relations (1) et (2) du message #21, tu multiplies la première par t, la deuxième par (1-t), et tu les additionne; puis tu compares à (3) (ou tu remarques que ça parlait de l'ordonnée du point d'abscisse Cx de ta droite).

    Bon travail !

  29. #26
    azizovsky

    Re : Point appartenant à un segment

    Cx est entre Ax et Bx
    suffit pour la démonstration.(y-c/y-x= t avec t..... )

Sur le même thème :

Discussions similaires

  1. DM 3°: Démontrer qu'un point est le milieu d'un segment
    Par smilyou dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 3
    Dernier message: 06/10/2011, 19h08
  2. Projection d'un point sur un plan, appartenant à un triangle
    Par Sethy dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 5
    Dernier message: 12/08/2011, 20h13
  3. Distance d'un point à un segment
    Par Zion212 dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 4
    Dernier message: 24/09/2008, 20h32
  4. dm sur demontrer qu'un point est le milieu d'1 segment
    Par choukette92 dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 5
    Dernier message: 01/04/2007, 18h30
  5. un point sur un segment
    Par maxwarch dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 3
    Dernier message: 14/12/2006, 18h55