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Démo Matrice covariance d'une application linéaire sur un vecteur




  1. #1
    fabio123

    Démo Matrice covariance d'une application linéaire sur un vecteur

    Bonjour,

    Soit F une application linéaire de matrice M et X un vecteur de variables aléatoires et C sa matrice de covariance . Je cherche une démo pour pour prouver que la matrice de covariance associée au vecteur Y = F X est égale à : .

    J'essaie tel quel, en partant de Y=FX :

    d'où :

    Mais à partir de là, comment traduire cette expression en calcul matriciel en faisant apparaître le produit ?

    Merci pour votre aide

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    fabio123

    Re : Démo Matrice covariance d'une application linéaire sur un vecteur

    Citation Envoyé par fabio123 Voir le message
    Bonjour,

    Soit F une application linéaire de matrice M et X un vecteur de variables aléatoires et C sa matrice de covariance . Je cherche une démo pour pour prouver que la matrice de covariance associée au vecteur Y = F X est égale à : .

    J'essaie tel quel, en partant de Y=FX :

    d'où :

    Mais à partir de là, comment traduire cette expression en calcul matriciel en faisant apparaître le produit ?

    Merci pour votre aide
    j'ai 2 coquilles sur le second terme :


  4. #3
    minushabens

    Re : Démo Matrice covariance d'une application linéaire sur un vecteur

    Il faut écrire Var(Y) = E(YY')-E(Y)E(Y)' = E(MXX'M')-E(MX)E(MX)' = ME(XX')M'-ME(X)E(X')M' = M{E(XX')-E(X)E(X')}M' = M Vax(X) M'

    on utilise juste la linéarité de l'espérance.


  5. #4
    fabio123

    Re : Démo Matrice covariance d'une application linéaire sur un vecteur

    @minuhabens

    Merci pour ta réponse rapide. Juste une dernière précision : d'où vient la notation, ou plutôt opération, à l'origine de la définition de la matrice de covariance :

    Var(X)= E(XX')-E(X)E(X)' , c'est-à dire que Var(X) est une matrice alors que X et X' sont des vecteurs.

    Le produit XX' tel que tu l'écris génère une matrice ? comme le produit tensoriel entre 1 "vecteur colonne" et 1 "vecteur ligne" génère un tenseur d'ordre 2 (plus précisément le produit tensoriel d'un vecteur avec un covecteur donne un tenseur d'ordre (1,1))

  6. #5
    minushabens

    Re : Démo Matrice covariance d'une application linéaire sur un vecteur

    si X est un vecteur à n composantes XX' est une matrice nxn (X' est la transposée de X, vu ici comme matrice nx1)

  7. A voir en vidéo sur Futura

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