Définition et compréhension d'une matrice de covariance à partir d'un vecteur

[fabio123]

Bonjour,

je suis en train d'étudier le problème inverse dans le traitement d'images en astrophysique, et plus particulièrement avec la méthode du maximum de vraisemblance.

Je bloque sur un point. Partant de la PSF (Point Spread Function) :



et de la définition de la relation :

avec un bruit blanc.

On démontre que l'estimateur du vecteur d'entrée (original) est déterminé par :



avec la PSF et l'inverse de la matrice de covariance du vecteur (données observées) .

Question 1) J'ai du mal à appréhender comment définir une matrice de covariance construite à partir d'un vecteur de données :

je comprends bien que l'on puisse calculer une moyenne sur le vecteur, mais après comment calculer ? sachant que je n'ai qu'une seule valeur pour chaque élément .

Question 2) S'il n'y a qu'une seule valeur, cette matrice de covariance aurait des composantes égales à : , non ?

Question 3) Quelle la différence entre un bruit blanc gaussien avec un bruit blanc (je sais que le bruit blanc a une densité spectrale constante mais qu'est-ce qui change avec le bruit blanc gaussien, la variance ?)

Merci pour toute aide ou remarque
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[minushabens]

Bonjour,

je ne connais pas le domaine de l'analyse d'images, mais en général quand on veut estimer des paramètres d'un processus aléatoire on fait des hypothèses sur la dépendance entre Y(t) et Y(t+h), par exemple que la covariance cov(Y(t),Y(t+h)) ne dépend que de h (stationnarité) ou que de ||h|| (isotropie). Si on ne peut pas faire ces hypothèses, on peut stipuler que cov(Y(t),Y(t+h)) est une fonction de t et h mais de forme connue (décroissante en h généralement). Je suppose que ce genre de modélisation est décrite dans la littérature du domaine.

[fabio123]

En fait, je me rends compte que l'incompréhension est plus profonde :

si je considère la réponse impulsionnelle (c'est-à-dire ce que l'on appelle la PSF (Point Spread Function) = à la réponse d'un dirac):



avec

Dans le cas discret, je ne vois pas quel est le lien entre la matrice et la PSF ci-dessus, quand on considère la relation :



On suppose alors que la relation entre le vecteur de données observées (vecteur y) et les valeurs réelles (comme l'image vraie d'une galaxie) est linéaire, en rajoutant aussi un bruit blanc (vecteur ) : est-ce bien cela ?

Pourquoi n'y a-t-il pas plutôt une relation de convolution discrète entre et (du coup, je ne sais pas ce que l'on fait du bruit blanc dans cette convolution ?) ?

Supposons que la matrice soit connue, comment démontrer que l'on peut accéder à un "bon" estimateur du vecteur "vraie image" (au sens du maximum de vraisemblance = likelihood) :



avec l'inverse de la matrice de covariance du vecteur ???

Merci pour votre aide

[PhilTheGap]

Je viens de voir que tu as posté ce second fil... J'ai répondu au plus récent mais tu dois éviter de faire cela si tu ne veux pas brouiller les pistes.
L'équation que tu donnes est celle des moindres carrés, qui s'applique au modèle linéaire. Voir ici. La démonstration est sur le site. Comme je te le disais dans mon autre poste, il faut donc linéariser la PSF près d'un point (α,β).

[A voir en vidéo sur Futura]

[fabio123]

@ PhilTheGap

Bonjour,

excuse-moi pour le second fil posté avant ta réponse.

Question 1) J'aimerais démontrer la relation entre l'opérateur linéaire H (matrice) et h (vecteur) : H.x = h*x (avec * le produit de convolution et H.x le produit matriciel entre la matrice H et le vecteur x).

Dans mon exo, la valeur de l'intensité d'une étoile est définie par :

avec un bruit blanc gaussien. Pour générer le jeu de données , je fixe (a,b) que j'estimerai après avec un Maximum Likelihood.

Sous la forme matricielle, cela donne :



Question 2) Est-ce que cette matrice représente la PSF ? Je pense que non car la PSF est le vecteur "" (minuscule) et non l'opérateur linéaire ?

Et si oui, pourquoi ?

Je suis un peu perdu, pour moi, une PSF représente tout simplement la réponse impulsionnelle (réponse à un dirac) mais ici, je suis dans un cas discret, et ça me pose des problèmes de compréhension.

Merci pour vos remarques.

[minushabens]

Question 1) J'aimerais démontrer la relation entre l'opérateur linéaire H (matrice) et h (vecteur) : H.x = h*x (avec * le produit de convolution et H.x le produit matriciel entre la matrice H et le vecteur x).

qu'appelles-tu produit de convolution de deux vecteurs? en principe on fait le produite de convolution de deux applications. Veux-tu parler des formes linéaires duales?

(..) que j'estimerai après avec un Maximum Likelihood.

maximum de vraisemblance en français.

[PhilTheGap]

Question 1) Je ne vois pas l'équation sous forme matricielle... C'est une image ?
Question 2) Oui pour moi c'est la PSF si tant est que la valeur h est un scalaire. Comme je n'ai pas l'équation matricielle... L'opérateur H est le "modèle", dont il s'agit d'évaluer les paramètres α et β.
Dans le cas discret, on remplace les intégrales par des sommes, donc ca ne change pas grand chose. Tu dis: ici je suis dans un cas discret, mais tu n'en dit pas plus, c'est un peu court. Tu ne détailles pas assez.