Base image d'une application linéaire

[theodutt]

Bonsoir,

J'ai un problème avec la détermination de l'image de l'application linéaire u représentée par la matrice A suivante :



En effet comme Im(u) = vect((1,2,0),(1,0,1),(1,0,1),( 0,1,0)) pour trouver une base de Im(u) je cherche une famille libre maximale à partir de cette famille.
comme cette famille est liée, j'enlève un vecteur pour en avoir plus que trois et là, selon celui que j'enlève j'obtiens soit une famille libre, soit une famille liée :

en enlevant (1,0,1) j'ai une base de Im(u) qui est ((1,2,0),(1,0,1),(0,1,0)) donc dim(Im(u)) = 3
en enlevant (0,1,0) j'ai de nouveau une famille libre et j'obtiens au final comme base ((1,2,0),(0,1,0)) donc dim(Im(u)) = 2

Ce qui n'est pas possible car le résultat de la base de Im(u) est normalement indépendant des vecteurs choisis parmi la famille génératrice de départ.

Merci d'avance pour votre réponse
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[Resartus]

Bonjour,
On ne peut pas enlever n'importe quel vecteur, mais seulement ceux qui sont liés. 010 ne peut pas être obtenu comme combinaison linéaire des trois autres ; il faut le garder.
Ici, comme on a deux fois le même vecteur 1 0 1 , il est clair qu'un des deux est en trop, mais les deux autres ne peuvent pas être supprimés sans diminuer la dimension du sous espace engendré