base de image d'une application lineaire

[inviteb8697e7e]

bonjour a tous le monde
j'ai une petite question si possible.
soit une application de image définit par:
Imf=l'ensemble (x+y,y-z,z-x) tq : x,y,z des réels.
moi j'ai séparé les variables et j'ai trouvé une famille génératrice qui engendre Imf, c'est la méthode classique, puis j'ai montré que cette famille est une famille libre,donc c'est une base.
Ma prof à dit la chose suivante comme deuxième méthode:
puisque Imf est de dimension 3 donc il est isomorphe à R3, et donc il suffit de prendre comme base de Imf la base canonique de R3. Moi je sait pas si cette réponse est vraie alors si possible de me donner votre opinion, et si quelqu'un à d'autre méthodes pour trouver une bases de Imf, ou au moin comment extraire une base d'une famille génératrice puisque l'obtention d'une famille génératrice n'est pas un problème.
Merci
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[taladris]

Salut,

il est vrai que si un sev F d'un espace vectoriel E de dimension finie n a la même dimension, alors F=E. Donc ta prof a raison

Par contre, il faut démontrer que Im(f) est bien de dimension 3 (ce n'est pas une évidence). Pour cela, on peut montrer facilement que f est injective et appliquer le théorème du rang.

[inviteb8697e7e]

oui je voie que là les choses ne pose pas un probleme, mais si on a par exemple:
Imf=l'ensemble(x+y,y+z,x-z,x+2y+z) tq x,y,z des reels.
On voit que la dimension de Imf est bien 2 on peut tirer facilement une base, mais dans ce cas et ce qu'on peut dire puisque Imf est isomorphe à R2 if suffit de choisir deux vecteurs de la bases canonique de R4, et si c'est vraie quels sont les vecteurs qu'on doit choisir.

[taladris]

Ce que tu dis est vrai à condition que les deux vecteurs de R4 que tu choisis son élément de l'image.

Un exemple où cela ne marche pas: considere f(x,y,z)=(x+y,z,0,0). L'image est bien de dimension 2. Cependant, les vecteurs (0,0,1,0) et (0,0,0,1) ne sont pas dans l'image.

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