[L1] Stationnarité d'une suite convergente et finie

[naegiko]

Bonjour à tous,

Dans le supérieur cela fait depuis un bon mois que nous avons débuté les démonstrations mathématiques. Grâce aux membres de la communauté j'ai beaucoup progressé et je vous en remercie profondément encore. En TD une démonstration posée était assez complexe et j'ai donc essayé de la faire seul. Pourriez-vous me dire si ma démonstration est correcte? (d'ailleurs pour la fin j'ai un petit soucis pour conclure :/) Merci énormément d'avance.

Proposition à démontrer: Montrer que si une suite est convergente et admet un nombre fini d'éléments alors elle est stationnaire à partir d'un certain rang.

Soit (Un) n un entier naturel, une suite convergente qui admet un nombre fini de termes.
alors pour tout epsilon > 0, il existe un entier naturel N tel que pour tout entier naturel n >=N, abs(Un - l) < epsilon avec l un réel qui correspond à la limite de la suite (Un).

Soit (dn) une suite telle que: dn = abs(Un - l) pour tout n appartenant à l'ensemble des entiers naturels.

La suite (Un) admet un nombre fini de termes donc, soit I = { Un, n appartenant à l'ensemble des entiers naturels }, I est borné car (Un) admet un nombre fini de termes.
De plus (dn) converge vers 0.

Soit m un entier naturel tel que dm = min dn (pour n appartenant à l'ensemble des entiers naturels). (l'existence de ce dm est vérifiée du fait que I est borné).

Supposons que la suite n'est pas stationnaire à partir d'un certain rang.

Donc il existe n0 appartenant à l'ensemble des entiers naturels tel que n>= n0 implique Un différent de Un0,
et donc il existe n0 appartenant à l'ensemble des entiers naturels tel que n>= n0 implique dn différent de dn0.

or d'après la convergence de (dn) vers 0. Soit epsilon > 0, il existe un entier naturel N2 tel que pour tout n >= N2, 0 <= dm <= dn < epsilon.
J'ai du mal à conclure du coup je vous écris mon idée :
Or (dn) doit nécessairement soit décroître à un certain rang soit être stationnaire d'après la caractérisation de la convergence. (dn) doit donc à un moment donné décroître lorsque n augmente et que l'on modifie la valeur de epsilon mais sans dépasser sa valeur minimale (dm; le seul moyen serait qu'elle reste constante; or on l'a supposé non stationnaire. Donc il va exister un rang Nj différent de m tel que dn est inférieure strictement à dm. Or dm = min dn (avec n un entier naturel). Ce qui est absurde.

Je me suis écorché le cerveau pour rédiger cette démonstration de la manière la plus rigoureuse, à bien visualiser la proposition, mais franchement c'est un vrai casse tête pour conclure, cela fait de longues heures que j'y réfléchis en vain :/ Je vous remercie très chaleureusement.
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[Tryss2]

Soit les n valeurs que prends ta suite,

On considère , l'écart minimum entre deux valeurs que prends la suite

Ensuite, on pose

Et si la suite converge vers une limite , alors à partir d'un certain rang N, tout les termes de la suite sont à une distance de plus petite que ... donc...

[gg0]

Tu t'es compliqué la vie !

Soit l la limite, et a la valeur prise par Un qui est la plus proche de l (Il pourrait y en avoir 2, mais on verra que non). existence assurer par le fait que le nombre de valeurs est fini, et donc inf(|l-Un|) est en fait un min(|l-Un|).
1) On prouve, avec la définition de la limite que a=l d'où l'unicité : prendre un epsilon inférieur à |l-a|
2) Toujours avec la définition de la limite et le même epsilon, on prouve l'existence d'un N tel que pour tout n>N, Un=a.

Cordialement.

NB : Toujours préférer les démonstrations directes.

[naegiko]

Bonsoir Tryss2,
Merci beaucoup à vous pour votre réponse.
Je suppose qu'il faut conclure qu'à partir d'un certain rang N, Un = l, mais j'ai du mal à le visualiser que si pour e = m/3 il existe N appartenant à l'ensemble des entiers naturels tel que | Un - l |< m/3 alors cela implique que Un = l :/

Bonsoir gg0,
Merci beaucoup à vous pour votre réponse, en fait je bloque dés le 1) car j'obtiens:
Par caractérisation de la convergence de Un en l:
pour tout epsilon > 0 il existe un entier naturel N tel que pour tout n > = N, | Un - l |< epsilon
Soit epsilon = | l - a |/ 2 > 0, alors il existe un entier naturel M tel que pour tout n >= M, | Un - l |< |l - a | / 2
Mais cela est absurde car |l - a | est la distance minimale que Un peut atteindre vis à vis de l; enfin, pas absurde mais j'ai vraiment du mal à comprendre ce que j'interprète avec mon esprit actuel comme une contradiction :/
Merci beaucoup de votre patience.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Oui.

la seule façon d'éviter la contradiction, c'est que a=0 (donc a/2 (*) n'est pas un epsilon >0)
En fait, tu peux raisonner par disjontcion de cas : soit a=0, soit a>0. le deuxième cas donnant une contradiction, il est faux.

Cordialement.

(*) pourquoi avoir rajouté un - et une valeur absolue ?????

[naegiko]

Désolé, je coince par rapport au :" On prouve, avec la définition de la limite que a=l d'où l'unicité : prendre un epsilon inférieur à |l-a|".
Du coup si a = 0 en effet la contradiction part. En fait raisonnant avec les distances j'obtiens quelque chose comme: soit epsilon = |l - a|donc soit epsilon = | l |, alors il existe un n0 tel que pour tout entier naturel n >= n0, | u - l |< |l|.Mais après je ne vois pas trop le raisonnement à tenir.. En fait je pense qu'il y a un quiproquo et je ne comprends pas le raisonnement que vous me suggérez de tenir.

[naegiko]

Pour étayer un peu mes propos j'obtiens:
Comme a est le terme telle que la distance entre Un et l est minimale et qu'il vaut 0 alors
| Un - l | >= | a - l | c'est à dire | Un - l |> = | l | comme a = 0.
or Soit epsilon = | l - a | > 0, alors il existe un entier naturel M tel que pour tout n >= M, | Un - l |< |l - a |
or comme a = 0, on obtient: il existe un entier naturel M tel que pour tout n >= M, | Un - l |< |l |
donc pour tout n >= M on a à la fois: | Un - l |< |l | et | Un - l |> = | l | donc | l | <= | Un - l | < | l | ce qui est aussi contradictoire. J'ai l'esprit un peu en compote et c'est un euphémisme; vis-à-vis de cette démonstration. J'ai du mal à saisir les choses. Encore une fois, je vous remercie pour votre patience monsieur.

[Tryss2]

@nagegiko : EN fait, je ne propose même pas de montrer que u_n = l à partir d'un certain rang. Juste qu'elle est stationnaire :

Si on continue mon raisonnement plus haut, à partir d'un certain rang, tout les termes de la suite sont dans une boule de rayon m/3. Or une telle boule ne peut pas contenir deux a_i différents (puisque deux points de la boule sont à distance inférieure ou égale à 2m/3 < m). Donc à partir d'un certain rang, tout les termes de la suite sont égal au même a_i : la suite est stationnaire

[gg0]

Naegiko,

J'ai fait une erreur de parler de même epsilon, bien évidemment, ce n'est pas le a du départ, qui n'est pas un epsilon. Mais en prenant un epsilon comme te propose Tryss2, aucun problème.

Tu passes beaucoup de temps à écrire. Aucun à réfléchir à ce que veut dire a=0. Fais-toi un dessin, avec sur un axe les différentes valeurs de Un (pas besoin d'en prendre beaucoup, 2 ou 3 suffisent, disons 3 : v, w et x), puis évidemment, comme a=0, tu peux placer l (où tu veux, c'est l'un des Un, par exemple w). Puis, tu traduis sur ton dessin, le fait que pour tout indice suffisamment grand, Un devient définitivement très proche de l - qui est une des 3 valeurs prises par les Ui, on a dit w : l=w.

Remarque : ton |Un-l|<l ne sert à rien, si l est très grand, tu ne traduis pas que Un tend vers l, que Un - l tend vers 0.

NB : la preuve de Tryss est bien plus élégante, encore faut-il comprendre ce qui se passe ...

[naegiko]

Bonjour Tryss2, je vois votre démonstration est très intéressante, merci, je la garderais de côté et vais essayer de décortiquer votre raisonnement pour mieux me l'approprier.

Bonjour gg0, depuis mon heure de lever (9h30) jusqu'à maintenant je réfléchis à cela, j'ai beau exposer mes idées, essayer de d'entrevoir des chemins de raisonnement, j'ai l'impression de faire de la paraphrase voir de n'arriver à rien du tout. Je ne saurais trop encore vous remercier vous votre patience.

Pour démonter que l = a:

pour tout entier naturel n, | Un - l | >= | a - l | et pour tout entier naturel n, Un >= l + |l - a | ou Un <= l - |l - a|
D'après la caractérisation de la convergence de (Un) vers l, alors:
pour tout epsilon > 0, il existe un entier naturel N tel que pour tout entier naturel n, n >= N implique |Un - l | < epsilon;

Mon raisonnement a été de supposer qu'on ait: |l - a| différent de 0.
alors soit epsilon= |l - a| / 2 > 0, il existe N1 appartenant à l'ensemble des entiers naturels tel que pour tout entier naturel n, n> N1 implique |Un - l|<|l-a|/2 absurde car
|Un - l| >= |l - a| pour tout entier naturel n.
d'où |l - a| = 0 ce qui implique que l = a.
Ainsi ma suite (Un) converge vers l, je sais qu'il existe un certain rang nep tel que Unep = l.. Je réfléchis encore en ce moment à un moyen de montrer qu'elle est stationnaire.

Face à cette difficulté j'ai quand même essayé de formuler un autre raisonnement histoire de ne pas revenir sur le forum les mains vides:
Soit ( ) n un entier naturel non nul, une suite telle que, = 1/n pour tout entier naturel non nul.
(on montre rapidement que () est une suite strictement décroissante et converge vers 0).
On en déduit alors que 0<<...<<

(on utilise alors la caractérisation de la convergence de Un).
Si on suppose qu'il n'existe pas de rang à partir duquel |Un - l | = 0 alors:
Soit () n un entier naturel non nul, une suite telle que = | - |

Soit = > 0
alors il existe un rang tel que n *, >= implique 0<=dn<
Soit = > 0
alors il existe un rang tel que n *, >= implique 0<=dn< <
(...)
Soit = > 0
alors il existe un rang tel que n *, >= implique 0<=dn<

Alors () admet une infinité d'éléments, ce qui est absurde car on a supposé que l'ensemble des valeurs prise par () est fini.
De fait, il existe bien un certain rang tel qu'à partir de ce rang, toutes les valeurs prises par Un sont égales à la limite l.

J'ai sincèrement passé toute ma matinée à chercher et ce, jusqu'à maintenant. Le résultat est peut-être faible mais je tiens à vous garantir mon extrême envie d'aboutir à un résultat concluant. Je vous remercie encore infiniment!

[gg0]

Tu en écris, ... tu en écris, ... mais ce que tu as à faire est tellement simple que je n'ai même pas le courage d'aller au bout ...
Faire des maths, ce n'est pas en écrire des tonnes, mais expliciter ce qui se passe, en notations mathématiques.

Tout est basé sur le fait que si la suite U ne prend qu'un nombre fini de valeurs, il arrivera un moment où définitivement, |un-l| sera tellement petit que Un ne pourra être que égal à l, et l à Un, puisque la distance entre Un et l sera plus petite que la moitié du chemin pour sauter d'une valeur à l'autre. Après, il suffit de traduire cette idée.
Une idée intuitive pour comprendre : quand Un change de valeur, elle fait un saut qui est une valeur d'un ensemble fini (s'il y a n valeurs, il y a n(n+1)/2 sauts) de valeurs strictement positives. Comme la suite a une limite, il arrive un moment où elle ne peut plus sauter et elle reste sur cette valeur. Tour ça c'est intuitif, on peut le modéliser avec la valeur minimum des sauts (premier message de Tryss2) et nettement plus petit.

Donc arrête de chercher des preuves compliquées "originales", ça ne sert à rien. Examine ce qui se passe, et rédige à partir de ce qui est évident intuitivement.

Au passage : "On en déduit alors que 0<<...<<" est faux, d'autant plus que tu viens de dire " () est une suite strictement décroissante et [qui] converge vers 0" Et comme la suite semble utiliser cette inégalité, tout est du n'importe quoi ...
D'ailleurs, tu aurais pu utiliser directement , ou, plus sainement puisque tu utilises en même temps la lettre n pour les indices de la suite (on ne sait plus ce que désigne n dans "0<=dn< < ").
(finalement, j'ai un peu lu, mais comme c'est n'importe quoi, inutile d'aller plus loin)

En conclusion : Écris-en peu, mais compréhensible (n'imite pas des textes mathématiques - surtout si tu n'as pas tout compris- rédige ce qui est à dire).

[naegiko]

Je vois...Comme à l'accoutumée, je vous remercie profondément, vos conseils me sont très précieux et j'ai pris soin de les noter dans mon carnet.
En fait, pour cette démonstration de manière intuitive je pensais que: "Comme la suite admet comme limite l, elle s'y rapprochera le plus possible; mais du fait qu'elle admet un nombre fini de valeurs, elle ne peut qu'y être égal". Partant de ce principe j'ai essayé de trouver une démonstration pour montrer que la suite (Un) serait égale à l à partir d'un certain rang, mais semble-t-il des démonstrations mathématiquement incorrectes ou dénudées de sens. Oui, ma deuxième démonstration est d'une absurdité déconcertante, je n'avais même pas remarqué m'être complètement contredit dans mon écriture :/ C'est assez pénible car au fond de moi j'arrive à apercevoir la chose, même si elle reste tous comptes faits assez abstraite, mais j'ai vraiment un sacré mal à modeler mes idées pour formuler une démonstration mathématiques qui soit digne de ce nom.
Encore merci monsieur, cela fait un grand plaisir de savoir ce qui ne va pas dans ma manière de raisonner, je sais désormais les points sur lesquels je dois apprendre.