Limite finie d'une suite

[sarusman]

bonjour la communauté; j'ai besoin d'éclairage sur certaines questions ( 1-b); 3); 4) ) de l'exercice dont voici l'énoncé:

soit (Vn) la suite définie par: Vo= 2; et pour tout n dans |N, Vn+1= 5 - 4/Vn

1-a) Démontrer que quelque soit n dans |N; Vn>= 2 ( pas de soucis à ce niveau)
1-b) Démontrer que quelque soit n dans |N, |Vn+1 - 4| <= 1/2 |Vn - 4| (besoin d'aide)

2) En déduire que: quelque soit n dans |N, |Vn - 4|<= 1/2^n-1; ( pas de soucis à ce niveau)

3) Déterminer le nombre réel A tel que: n>=A --> |Vn - 4|<= 10^-5 (besoin d'aide)

4) soit € un nombre réel strictement positif, déterminer un nombre réel A tel que n>=A --> |Vn - 4|<= € (besoin d'aide)

cordialement;
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[joel_5632]

bonjour

pour 1b:

[phys4]

Bonjour,

2) En déduire que: quelque soit n dans |N, |Vn - 4|<= 1/2^n-1; ( pas de soucis à ce niveau)

3) Déterminer le nombre réel A tel que: n>=A --> |Vn - 4|<= 10^-5 (besoin d'aide)

4) soit € un nombre réel strictement positif, déterminer un nombre réel A tel que n>=A --> |Vn - 4|<= € (besoin d'aide)

Si vous avez démontré le 2), il suffit alors de trouver n pour que 2^n-1 soit plus grand que 10⁵.
Er pour pour le 4) vous généralisez à 2^n-1 > 1/€

[sarusman]

@Joel_5632: vous avez écrit : V_n+1 - 4 = 1/V_n * (V_n - 4)
je suis d'accord ! mais quelle propriété allons-nous utiliser pour faire apparaitre la valeur absolue?

@Phys4: Pour le 3) on a n> 1+ (5*ln10)/ln2 qui donne n>=17,60; comme n dans |N on a n>=18 donc A=18

pour le 4), vous avez dit généraliser : En partant de 2^n-1> 1/€, j'obtiens n> 1 - ln€/ln2 , que dois-je alors conclure?

cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[sarusman]

(V_{n+1 -4} ) = (V_n-4)/V_{n -->} (V_n+1 - 4)/(V_n-4)= 1/V_n --> |V_n+1 -4|/|V_n-4|= 1/V_n car (V_n) est une suite positive
or V_n>=2 --> 1/V_n<=1/2 on obtient donc |V_n+1 -4|/|V_n-4|<=1/2 --> |V_n+1 -4|<= 1/2 |V_n-4|
et le 1-b) est résolu!!!

il manque le 4) ...

[phys4]

pour le 4), vous avez dit généraliser : En partant de 2^n-1> 1/€, j'obtiens n> 1 - ln€/ln2 , que dois-je alors conclure?

Je conclus que vous avez trouvé une valeur A = 1 - ln€/ln2, qui répond à la question, tout simplement.

L'art de ne pas se poser des questions inutiles.

[sarusman]

Un enchainement de questions inutiles dans un domaine par un homme ordinaire, 
le conduit inéluctablement à maitriser les rouages de ce domaine 
et en comprendre même les origines de celui-ci

Encore merci

[gg0]

Bizarre cette affirmation ! Donc c'est en parlant de football qu'on devient ballon d'or ?

Il n'y a pas de question idiote, mais il est fréquent de poser des questions inutiles, celles qu'on aurait pas posées si on avait essayé d'y répondre seul