Bonsoir,
Je souhaite déterminer le signe de la fonction suivante sur [0,pi] :
-2cos²(x)+4cos²(x/2)-3
Je comprends que la fonction est de signe négative sur [0,pi] mais je suis incapable de le démontrer proprement sans passer par la dérivé,
Merci d'avance pour vos réponses,
Bonjour.
En posant, alors
Ce polynôme du second degré de discriminant négatif est toujours strictement négatif.
Donc f(x)<0 pour tout x.
Cordialement.
Signe de -2 cos²(x) + 4 cos²(x/2) - 3 sur [ 0 ; pi] :
Posons t =x/2. Donc t appartient à [ 0 ; pi/2 ].
cos(x) = 2 cos²(t) - 1
Donc cos²(x) = 4 (cos(t))^4 - 4 cos²(t) + 1
Donc -2 cos²(x) = -8 (cos(t))^4 + 8 cos²(t) - 2
Donc -2 cos²(x) + 4 cos²(x/2) - 3 = -8 (cos(t))^4 + 12 cos²(t) - 5.
C’est un trinome en z = cos²(t).
f(z) = -8 z² + 12 z - 5 .
Le discriminant de ce trinôme est 144 - 4 (40) = 144 - 160 = -16 <0
Le signe de ce trinôme est donc celui du coefficient de z², donc celui de -8.
Donc ce trinôme est toujours négatif.
Donc -8 (cos(t))^4 + 12 cos²(t) - 5 est toujours négatif.
Donc -2 cos²(x) + 4 cos²(x/2) - 3 est toujours négatif.
Dernière modification par pilum2019 ; 14/03/2019 à 21h47.
Bonjour Merci beaucoup pour votre réponse je n'arrivais vraiment pas à trouver la solution
L'objectif initial était de déterminer le signe de : -2sin(2x)(2cos(x)-1) + 2sin(x)cos(2x)
Savez vous si il existe une méthode plus rapide ?
De plus par rapport à votre méthode, pouvons nous faire un changement de variable par exemple avec cos(x)=X alors que cos(x) n'est pas de signe constant sur [0,pi] ?
Merci encore,
Bonjour.
Les changements de variable se font sans considération du signe, à priori. J'ai préféré prendre le carré car c'était directement utile. Et le signe du cos n'intervient pas ici, puisque le polynôme est toujours négatif.
Pour ton expression de départ, j'aurais développé sin(2x) et factorisé sin(x), puis développé le cos(2x) en fonction de cos(x), ce qui donne un trinôme du second degré en cos(x) facile à traiter. N'est-ce pas ce que tu as fait ? comment des x/2 sont-ils arrivés ?
Cordialement.
Bonjour, merci pour votre réponse
EN utilisant plusieurs de vos remarques j'obtiens cette justification qui me semble cohérente, qu'en pensez vous ?
merci d'avance,
http://zupimages.net/viewer.php?id=19/11/z3ue.jpg
PS : sur l'image très peu de rigueur et de justification car c'est un brouillon
Image de l'exercice en question
Dommage, tu as perdu un 2 en cours de route, en recopiant !! Celui de 2 sin(thêta)cos(2thêta).
