suites numériques

[invitee263b8a6]

Salut s'il vous plait besoin d'aide
EXERCICE 2 (Suites numériques)
1. Définir : suites adjacentes.
2. On considère les suites et définies par:
et
(a) Montrer que (Un)n est de Cauchy. En déduire que (Un)n converge.
(b) Montrer que les suites (Un)n et (Vn)n sont adjacentes.
(c) Montrer que leur limite commune n'est pas un nombre rationnel.



merci
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[invitedd63ac7a]

Question c)

Soit


1) Montrer que E<2

2) On Suppose que avec q entier naturel non nul.
On considère A tel que :


a) Montrer que 0<A<2
b) montrer que

c) Montrer que

d) en déduire que la supposition faite est fausse.

[invitee263b8a6]

merci je m'y mets immédiatement quand aux deux premières questions je poste mes reponses pour une vérification

[invite51d17075]

Question c)

Soit


1) Montrer que E<2
.

ca commence mal, sachant que la somme

correspond au DL de l'exp pour x=1 d'où
E=e(1)=e > 2
du coup, je n'ai pas lu le reste de la démo.

Et vu cette évidence pour la nature de la somme, je suis un peu surpris de l'exercice, et le fait de passer par une preuve de convergence via "Cauchy", tout comme le fait de montrer l’irrationalité de la limite.
démarche qui ne me semble pas évidente en première intention( critère de Cauchy ) sans utiliser l'exp justement.
J'attends donc volontiers la démarche de Wilfried.

ps: dans mon lointain souvenir, il me semble avoir vu les DL ( notamment pour des fct aussi utilisées ), bien avant avoir abordé les suites de Cauchy, mais je peux me tromper.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedd63ac7a]

Désolé, pas mal d'erreurs...

Soit


1) Montrer que E<2

2) On Suppose que avec q entier naturel non nul.
On considère A tel que :


a) Montrer que 0<A<2
b) montrer que

c) Montrer que

d) en déduire que la supposition faite est fausse.[/QUOTE]

[invite51d17075]

pas compris ce que tu démontres :????
que E <2 ou bien que A <2 est faux ?
ce n'est pas ce qui est demandé.

[invitedd63ac7a]

Pour montrer que E est irrationnel on suppose que E est rationnel (E=p/q) et on aboutit à une contradiction à la fin.
Apparemment ça devrait marcher, mais je n'ai malheureusement pas le temps de revoir cela dans le détail, pour l'instant.

[invite51d17075]

mea culpa :

démarche qui ne me semble pas évidente en première intention( critère de Cauchy ) sans utiliser l'exp justement.

désolé, je n'avais pas vu cette évidence.
rappel de la preuve recherchée, on cherche pour


la somme étant croissante cela revient à majorer de manière aussi petite que voulue, et indépendamment de p :

celle ci peut s'écrire :

p = 0 est sans intérêt, et pour tout p > 0
1/(n+p)<= 1/(n+1),
on en déduit que la somme est majorée par

soit ( on reconnait une suite géométrique )

ceci est strictement majoré par
(*)
Il suffit donc ensuite de choisir un N ad-hoc tel que pour tout \epsilon et pour tout n>N


en espérant ne pas avoir fait de faute de frappe.

(*) en reprenant la première formule, c'est même inférieur en remplaçant par (n+2)/(n+1) , mais c'est suffisant comme ça !

[invitee263b8a6]

bonjour ansset ce n'est pas pour la suite de cauchy j'espère car pour aboutir à 1/n<epsillon

[invite51d17075]

bonjour ansset ce n'est pas pour la suite de cauchy j'espère car pour aboutir à 1/n<epsillon

si , c'était pour la suite de Cauchy.
et pourquoi vouloir aboutir à 1/n<eps ????????

[invitee263b8a6]

Bonsoir ansset si une suite est de Cauchy on peut conclure qu'elle est convergente?

[invite51d17075]

bien sûr !

[invitee263b8a6]

bonjour ansset pour la démonstration de Cauchy là je n'arrive à demarrer
cherchons
comment choisir p et q

[gg0]

Ben justement, il n'y a pas à les choisir : "quelques soient p et q ...". Donc ils resteront les lettres p et q.
Donc sur un brouillon, tu vas transformer pour pouvoir trouver une condition sur p et q du genre p>.. et q>... qui permet d'avoir ; puis tu pourras en déduire N et rédiger la preuve.

Heu ... la question initiale date d'un mois; tu n'as pas l'air d'avancer beaucoup.

Cordialement.

[invitee263b8a6]

j'ai eu un sourcis avec ma machine mais c'est deja regle

[invitee263b8a6]

j'ai abouti à comment prendre

[invite51d17075]

bjr, il me semblait que mon post #8 était une réponse ad hoc.
à moins d'une erreur, il suffit de la relire, plutôt que de repartir de 0.
ou bien, elle n'est pas claire pour toi ?
cordialement

[gg0]

Sinon il est facile de majorer et par des fractions bien plus simples (*), en utilisant le plus petit des deux entiers p et q (r=min(p,q)). On n'a pas besoin des factorielles.

Corialement.

(*) Je n'ai pas vérifié si c'est correct, je fais confiance.