Généralisation de la loi des grands nombres

[coussin]

Bonjour

La loi des grands nombres, comme je vais l'utiliser dans la suite est :
Soit une PDF p(x) et un échantillon X=(x1,x2,...,xN) de taille N, tiré de cette PDF.
Alors, la moyenne arithmétique tend vers l'espérance quand N tend vers l'infini.

Pour une fonction f "bien comme il faut" (dans "bien comme il faut", je mets continue, intégrable, des choses comme ça Désolé pour mon manque de rigueur...), peut-on dire que la moyenne arithmétique tend vers l'expression quand N tend vers l'infini.

J'ai fait quelques tests numériques avec une loi normale comme PDF et plusieurs polynômes pour f(x) et ça semble marcher... Y a-t-il une démonstration rigoureuse d'une telle généralisation ?

Merci d'avance
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[invite9dc7b526]

Si f est une fonction mesurable et X une variable aléatoire alors f(X) est une v.a. Si X1,X2,.. sont indépendantes, f(X1),f(X2),... sont indépendantes. Donc...

[coussin]

Merci pour ta réponse.
Donc oui
Du coup, j'ai une question corollaire.

On sait que comme je l'ai défini est un estimateur non biaisé vers l'espérance E[X].
Par contre, en considérant la fonction f(x)=(x-E[X])², on sait que comme je l'ai défini est cette fois-ci biaisé et ne tend pas vers Var(X). L'estimateur non-biaisé est .

Ma question est alors pour une fonction f(x) quelconque, comment savoir si comme je l'ai défini est biaisé ou non ?

[gg0]

Bonsoir Coussin.

"Comment savoir .." En calculant l'espérance de l'estimateur et regardant si ça donne l'espérance de f(X). C'est la définition de "non biaisé".

Cordialement.

NB : On dit "un estimateur de .." et pas un estimateur vers ..".

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9dc7b526]

L'estimateur de la variance où on doit diviser par (n-1) au lieu de n c'est celui où la moyenne est estimée. Du coup on a une somme de termes (Xi-M)^2 où M=(X1+..+Xn)/n et ces termes ne sont pas indépendants.

[coussin]

D'accord, je comprends mieux.
Merci pour vos réponses

[leon1789]

Bonsoir,

c'est peut-être trop tard, mais je préfère tout de même apporter une rectification :

L'estimateur est non biaisé : E(X) désigne l'espérance de la loi de probabilité

L'estimateur est biaisé : désigne la moyenne des

L'estimateur est non biaisé : c'est justement l'estimateur précédent que l'on a rectifié

Et l'estimateur donné au-dessus est évidemment biaisé puisque .