Théorème des bornes atteintes

[gorgiel]

Bonjour,

Je voudrais montrer que cette fonction: atteint ses bornes en utilisant le théorème des bornes atteintes.

Je sais que cette fonction est continue et définie sur un fermé mais je dois encore essayer de restreindre le domaine à un fermé borné mais comment peut on le faire?

J'arrive à montrer que la fonction plus petit que 1 pour tout x dans le domaine mais je ne pense pas que ça va m'être très utile...

Merci d'avance
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[albanxiii]

Bonjour,

Je ne connaissais pas ce théorème sous ce nom, j'ai donc cherché et j'ai trouvé https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%..._extr%C3%AAmes qui dit :

Soit f une fonction définie sur un intervalle [a , b]

(ou l'équivalent dans ).

Il faut donc commencer par définit le domaine sur lequel votre fonction est définie. Votre énoncé n'est pas clair.

Pour montrer qu'elle est bornée sur tout entier, la technique est classique : utiliser le fait que la limite est nulle à l'infini et découper l'espace de départ en un fermé borné (où vous pouvez appliquer le théorème dont il est question ici) et le reste (où la définition de la limite vous permet d'affirmer que les valeurs prises restent bornées).

[pm42]

Je voudrais montrer que cette fonction atteint ses bornes en utilisant le théorème des bornes atteintes.

Tu peux le faire en montrant ce vers quoi elle tend vers l'infini. Alors, tu utilises le théorème de convergence pour montrer que dès qu'on a x trop grand en norme, la fonction est dans une zone qui est loin de ses bornes.
Tu te ramènes donc à tout ce qui est plus petit ou égal à cette norme qui est un fermé borné.