Bonjour,
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Un passage que je ne comprends pas dans la démo de mon livre, comment on passe de :
On trouve que les fonctions :avec
A
C'est-à-dire les fonctions
Bonjour
Ton livre, il dit que l'ev des solutions est de dimension 1?
Sinon l'explication est là.
Bon maintenant que l'image de ton livre apparait et bien je vois que l'explication est un peu mal fagoté mais sans plus. Donc l'explication de mon post précédent c'est bien ça.
Mais si tu vises l'Agreg, à mon avis, c'est à toi de savoir mettre les précisions.
Il est trivial que les fonctions
Mais on peut poser :
Mais pourquoi l'auteur dit que les fonctions
Le lambda n'est pas quelconque il dépend de la constante
Les espaces vectoriels ne sont pas encore abordés à ce stade de mon livre. Donc l'auteur n'en parle pas du tout sauf dans une remarque précédente en disant que S0 est un sous espace vectoriel. Donc il faudrait que je fasse sans.Envoyé par JB2017
C'est surréaliste! C'est toujours comme ça avec toi. On te donne une réponse mais ton livre "dit ceci ou cela."
S'il parle à cet endroit d'espace vectoriel et que la leçon d'espace vectoriel et après et si ça te gêne, alors je te propose 3 solutions
1. Tu étudies ton livre à l'envers, i.e, tu regardes la leçon E.V et tu reviens sur la leçon équa-dif
2. Tu démontres toi même (sans parler d'EV ) que les solutions données ici sont bien solutions et qu'il n'y en pas d'autres (très bon petit exercice)
3. Tu changes de livre.
Ok JB je préfère utiliser les outils à dispositions donc le point 2. Après dans ce théorème il faut juste montrer l'existence d'une solution.
On a montré que
Soit
Le résultat est démontré. On peut ajouter qu'il existe une solution non nulle :
Comme on a montré
Comment montrer qu'il n'y en a pas d'autres ?
La démo montre que les fonctions :
-que ce sont les seules solutions.
-que C est qcq dans K. ( puisque toutes les primitives sont à une cte prêt )
la conclusion devient évidente.
Ansset oui l'unicité provient de la condition nécessaire trouvée.
On a montré que :
Il faut que j'en déduise :
J'ai toujours du mal à voir le lien entre les 2
Rebonjour
Je ne vais pas trop critiquer ton livre, en effet la réponse dépend du contexte.
Alors pour faire cette démo correctement (en tenant compte de tes contraintes), il serait mieux de faire comme cela.
Au début on suit la même démarche: On a ainsi une solution particulière définie par
Comme elle ne s'annule pas , on peut chercher les solutions de la forme y(x)=z(x) y_0(x) avec z dérivable
(car z=y/y_0 et y_0 ne s'annule pas)
y'(x)+a(x) y(x)=z'(x) y_0(x)+ z(x)(y_0'(x)+a(x) y_0(x)=z'(x) y_0(x).
Donc y est sol de E_0 ssi z est solution de z'(x)=0, i.e z =cste.
Donc l'ensemble des solutions est bien l'ensemble des solutions de la forme
y(x)= z y_0(x) , z \in R (ou C).
C'est un ev de dimension 1. (Ce que tu sais tout de même).
Ok j'ai compris le calcul mais une chose me perturbe : vous avez cherché une solution sous la forme : y(x)=z(x) y_0(x) comment on sait que toutes les solutions sont sous cette forme ? Comment on sait qu'on en a pas oublié ?
J'ai compris le calcul mais je n'ai pas compris le but de ce calcul.
Je n'ai pas compris aussi pourquoi on a besoin que f_0 ne s'annule pas pour chercher des solutions sous la forme : y(x)=z(x) y_0(x)
z joue le rôle de nouvelle fonction inconnue.
comme y0 ne s'annule pas pour tout x connaitre y(x) est équivalent à connaitre z(x). De plus y dérivable est équivalent à z dérivable.
Donc la démo consiste à changement de fonction inconnue. A savoir aussi que c'est le pricipe de la méthode de variation de la constante.
Parce que si
je vais le présenter autrement que les autres interventions.
si on prenait comme base y_0 la fonction nulle, on ne pourrait en déduire l'ensemble des solutions.
à l'inverse, y(x)=z(x)y_0(x) contient toutes les solutions(*), y compris la fonction nulle pour z(x)=0.
méthode générale dite de variation de la constante ( comme rappelé plus haut )
Je ne suis pas plus avancé.
Je n'ai pas compris comment vous savez que les solutions de
Si y_0 ne s'annule pas, alors toutes les fonctions sont de la forme f(x) = z(x)y_0(x)
Tu prends une fonction f quelconque, et tu poses z(x) = f(x)/y_0(x)
Ah d'accord, honnêtement j'ai du mal avec votre méthode qui m'a l'air d'être un tour de passe passe.
Que pensez-vous de cette méthode ? Elle me semble bien plus naturelle.
Soit
Ainsi,
Dernière modification par mehdi_128 ; 09/05/2019 à 23h37.
C'est un peu pareil la fonction g tu la sors autant par un "tour de passe passe".
Pour R effectivement ça voudrait dire qu'on devrait se restreindre aux lambda positifs (mais voir plus bas on montre en passant par les complexes que tout réels convient).Il faut que j'en déduise :
J'ai toujours du mal à voir le lien entre les 2
Pour C (les complexes), il faut démontrer
a) que tout élément Z non nul de C peut s'écrire sous la forme e^z et que
b) tout nombre de la forme e^z est un élément de C
Pour le b) c'est évident
Pour le a) démontrons l'existence de Z, z = a + i b = e^(A + i B) soit
a + i b = e^A e^(i B) = e^A (cos(B) + i sin(B))
Autrement dit par exemple A = ln(rac(a^2 + b^2) ) et B = argument de z + 2 k pi
Ainsi la fonction z -> e^z est subjective ce qui veut dire que tout élément de C y compris les nombres réels donc les négatifs aussi peuvent s'écrire sous la forme e^z ce qui indiquent en passant par C, que les solutions (lambda e^-a) avec lambda quelconque sont solutions de l'équation.
Ton livre n'est pas "top" en effet sur ce point.
Dernière modification par Merlin95 ; 10/05/2019 à 04h27.
