Bonjour, dans mon cours d'algèbre je ne comprends pas le fait d'affirmer que la famille vide est libre, la définition d'une famille libre part de l'idée que la famille n'est pas vide, mais quand celle ci est vide comment adapter la définition ?
En toute généralité, pour une famille I d'indices, on dit que la familled'éléments de E est libre si
(où K^(I) est l'ensemble des suites n'ayant qu'un nombre fini de termes non nuls)
Du coup, si ta famille est vide, tu remplaces I par
Vu que
Ah ouais quand meme je ne savais pas qu'il existait cette définition d'une famille d'éléments, merci c'est beaucoup plus claire. Sinon j'ai essayé de prouver que la famille vide ne pouvait pas etre liée donc forcément elle est libre, je posterai ma preuve tout à l'heure.
Cette définition permet de parler de famille libre dans les espaces vectoriels de dimension infinis.
shaams, si tu ne t'ai pas encore pose la question, il est aussi interessant de se demander quelle est le sous espace engendre par la famille vide...
Bonsoir, voici en gros ma preuve : je suppose que la famille vide
@syborgg le sous-espace engendré par la famille vide n'est-il pas le sev {0} ?
Et pourquoi?Envoyé par shaams
Bonjour Shaams.
Il y a des choses bizarres, dans ta "preuve" :
*ne peut pas servir à prouver puisque c'est faux par hypothèse. Par contre sa négation (définition de l'ensemble vide) a pour conséquence la fausseté de la propriété "F est libre"
* tel que
Il me semble que le plus simple est de prouver, pour une famille F, la propriété "Si F est libre, alors F est non vide" (c'est dans la définition), puis procéder par contraposition.
Cordialement.
Dernière modification par gg0 ; 11/05/2019 à 08h37.
@gg0 : la preuve de Shaams du message #6 est sa preuve que la famille vide n'est pas liée, comme il l'annonçait dans le message #3
J'avais bien compris ! Je souligne seulement les problèmes de rédaction.
Au message #3, je ne voyais pas ce qu'il appelait "adapter" (*), maintenant je vois qu'il s'agit bien d'une adaptation (traduttore traditore)
Cordialement.
(*) Une définition ne s'adapte jamais, puisque ce serait la transformer en une autre. Soit elle s'applique, soit pas. (Pour Shaams)
J'ai voulu esquisser la preuve pour gagner du temps, mais l'idée generale était d'aboutir à une contradiction en supposant que la famille vide est liée, d'où le
@Tryss
Le plus petit sev d'un K-eV est {0} or
OK, Shaams.
En fait, l'inexistence d'éléments dans F fait que la définition de "F liée" est clairement niée. Mais il est difficile de décider de prendre une combinaison linéaire d'éléments de.
Quelle est ta définition de "famille libre" ?
Cordialement.
Une famille
@gg0 : Si une propriété est "Quelque soit x appartenant à A, ...", et que A est l'ensemble vide, alors cette propriété est vraie.
Ici la propriété est du type "Quelque soit la combinaison linéaire d'éléments de F, ...", or l'ensemble des combinaisons linéaires d'éléments de F est l'ensemble vide, donc la propriété est (trivialement) vraie.
Je n'ai jamais nié cela, et ça suffit pour justifier, comme tu l'as fait dans ton premier message. Je m'intéressais à ce qu'écrit Shaams, avec cette rédaction bizarre.
Pour utiliser directement sa définition à la famille vide, il y a un problème, car pour n=0, il faut définir une suite vide (connaît-il ?) et éventuellement une somme vide (connaît-il ?).
Conseilles-tu vraiment des rédactions comme celle de son message #6 ??
Cordialement.
