Bonjour,
pour calculer le volume du tétraèdre par intégration on peut utiliser pas mal de méthode, celle qui retiens mon attention est celle-ci :
Les quatre points ont pour coordonnées (0,0,0) (1,0,0) (0,1,0) et (0,0,1).
On poseensuite on intègre suivant y puis x soit :
Et on retrouve bien 1/6
Normalement l'ordre d'intégration ne change rien mais si on effectue :
On trouve
Quelqu'un aurait-il une explication pour me dire où je me suis trompé ?
Merci
Bonjour.
C'est normal, x ne peut pas être une borne sur l'expression de l'intégrale par rapport à x.
Ton domaine d'intégration est donné par 0 <= x <= 1 et 0 <= y <= 1-x. Fais un dessin, puis essaie de le retracer en le définissant d'abord par les valeur (fixes) sur y, puis la condition sur x (qui dépendra de y).
Cordialement.
Re : Ordre intégration intégrale double
...je ne sais pas bien si j'ai bien saisi...
Pour le dessin, l'équation du plan et le fait de retrouver z(x,y) pas de soucis.
Pas de pb non plus pour voir le domaine dans le plan (0xy) que ce soit suivant x ou y.
J'ai juste changé l'ordre d'intégration, une fois par rapport à y (0 < y < 1-x) et une fois par rapport à x (0 < x < 1).
Ensuite j'ai fait l'inverse, une fois par rapport à x (0 < x < 1) et une fois par rapport à y (0 < y < 1-x).
Donc, par rapport à x, je n'ai pas de dépendance à une variable dans les bornes d'intégrations (0 et 1). C'est sur ce point que je dois me mélanger les pinceaux.
Si j'ai bien suivi,
quand on pose des bornes de type scalaire a,b pour x et c,d pour y, on peut intégrer dans n'importe quel ordre, çà ne change rien ?!
Si en revanche, on pose des dépendances à des variables dans les bornes çà ne marche plus car il faut faire attention à l'ordre ?
Par exemple, si je veux faire d'abord le sens x puis le sens y, il faut que je pose obligatoirement x {0<x<1-y} et y {0<y<1} (et du coup on bien 1/6 également) ?
C'est parce-que j'ai déjà procédé à une intégration suivant x que je ne dois plus l'avoir comme variable dans les bornes par la suite ?
Merci d'éclaircir ce point
Je pense qu'il faudrait déjà que tu revoies la notion d'intégrale double sur un domaine, puis la façon de ramener cette intégrale double à deux intégrales simples, dont les bornes dépendent du domaine considéré.
Tu n'as pas un cours sur le sujet ?
Ici, ton domaine est un certain triangle dans le plan (Oxy), et soit tu intègres par rapport à y à x fixé (donc y<1-x), puis par rapport à x, soit tu intègres par rapport à x à y fixé (donc 0<x< ???) puis tu n'as plus de x et tu intègres sur y variant de 0 à 1.
Inverser les deux intégrales n'a pas de sens ici, tu appliquais à des bornes variables une règle sur des bornes fixes, d'ailleurs pas toujours vraie (voir le cours d'intégration).
Cordialement.
Merci pour ces précisions, j'ai en effet pas mal de point à éclaircir et le cours n'a pas été forcément très limpide sur ce point...
C'est beaucoup plus clair maintenant
Bonne journée
Je n'ai pas trouvé de bouton "Résolu"... je le mets dans le titre.
Cdlt
