Bonjour,
Pour un cours en géologie, j'ai besoin d'apprendre à résoudre un système d'équations différentielles linéaires d'ordre 1 non-homogène. N'ayant pas un grand bagage mathématique, j'ai du mal à trouver de la littérature facilement exploitable pour mon problème.
Est-ce que quelqu'un pourrait me donner une piste pour commencer à résoudre le système?
Dois-je d'abord résoudre une équation diff pour ensuite l'intégrer à la deuxième?
Merci d'avance,
Bonjour.
Que sont [A] et [B] ? Des fonctions réelles ? Des vecteurs fonction de t ?*
Ce qui est en haut à droite a besoin d'être éclairci, surtout quand on lit ensuite "FA ne dépend ni de A ni de B" alors que la première ligne disait le contraire.
Cordialement.
Dans le même esprit, que signifie :
FA=r[A]i ????
y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
Bonjour,
Merci pour vos réponses.
Voici mes réponses à vos questions:
J'espère avoir pu éclaircir vos interrogations.
Bonjour,
Il y a des méthodes générales de résolution, basées sur des calculs matriciels, mais ici, si vous n'avez pas besoin de la démontration, ce n'est même pas la peine.
On sait que la solution générale de ces équations linéaires avec 2nd terme, est la somme de la solution générale de l'équation homogène, et d'une solution particulière de l''équation avec second terme.
Par ailleurs, les solutions générales des équations linéaires homogènes à coefficients constants sont des exponentielles (ou éventuellement des exponentielles multipliées par un polynome).
Ici, on va supposer sans faire le calcul* que la constante de temps de ces exponentielles sera négative. C'est à dire qu'elles vont tendre vers zero quand le temps augmente.
Il ne devrait donc rester à terme (l'état stationnaire) que des concentrations constantes (la solution particulière). Pour les trouver, on pose dA/dt=dB/dt=0 et on résoud...
*Si vous voulez le faire, on peut chercher des solutions de la forme A.exp(kt) et Bexp(kt), résoudre en k, et vérifier qu'il y a bien deux racines dont la partie réelle est négative
(cela revient à faire le calcul matriciel dont je vous parlais, sans le dire...)
Dernière modification par Resartus ; 21/05/2019 à 11h16.
Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
Bonsoir Resartus,
Désolée pour ma réponse tardive, je suis en pleine session d'examens et le temps me manque...
J'ai du mal à comprendre pourquoi la constante de temps est négative et qu'est-ce qui tend vers 0 quand le temps augmente? La (variation) des concentration des réactifs/ produits?
J'ai du mal à visualiser pourquoi l'on peut déduire qu' "il ne devrait donc rester à terme (l'état stationnaire) que des concentrations constantes (la solution particulière)" par rapport à la phrase précédente.
Merci!
Bonjour,
Reprenons pas à pas en commençant à l'envers :
S'il existe un régime stationnaire, il sera tel que les concentrations sont constantes, c'est à dire, comme vous l'avez écrit dA/dt=dB/dt=0.
Et si dB/dt=0, la seconde équation vous redonne bien que le rapport Astat/Bstat vaut bien la valeur indiquée.
(et on peut ensuite introduire cela dans la première pour trouver les valeurs exactes de Astat et Bstat en fonction de Fa)
Cette solution stationnaire est bien une solution particulière de votre système d'équations.
Votre système est linéaire à coefficients constants, et s'il n'y avait pas FA, ce serait un système homogène
On sait que les solutions de ce type d'équation sont des familles d'exponentielles. Ici on a deux équations du premier ordre, ce qui équivaut à une équation du second ordre, et il y aura deux familles :
une première famille de la forme
A=A1exp(k1.t) et B=B1exp(k1.t)
et une deuxième avec A2,B2 k2.
Et la solution générale de l'équation différentielle homogène sera une combinaison de ces deux exponentielles
Les k1 et K2 vont dépendre du systéme. Pour trouver ces k, on reporte le type de fonction cherchée dans les deux équations, ett cela impose une condition sur k.
Les deux racines peuvent, selon les cas être réelles (des exponentielles ordinaires), ou bien complexes (ce qui donnera un produit d'une exponentielle par un cosinus). Mais le signe de la partie réelle de k va déterminer le comportement futur de la solution. Si la partie réelle de k est négative, quand t tend vers l'infini, l'exponentielle tend vers zero. Si par contre cette partie réelle était positive, la solution générale augmenterait indéfiniment, à partir d'une petite perturbation de départ.
Ce qu'on sait aussi, c'est que la solution générale de l'équation inhomogène est la somme d'une solutions particulière et de la solution générale de l'équation homogène. Vous avez déjà votre solution particulière : c'est le régime stationnaire.
Donc, pour que ce régime stationnaire soit le régime final (à l'infini), c'est à dire que les concentrations, quelles que soient leurs valeurs initiales, convergent vers leurs valeurs stationnaires, il faut que les k1 et k2 aient des parties réelles négatives.
Dernière modification par Resartus ; 30/05/2019 à 15h34.
Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
Suite,
Revenons maintenant sur le calcul effectif de ces k1 et k2.
On a dA/dt= -(kf+r) A +kbB et dB/dt= kfA-(kb+r)B. En introduisant des fonctions de la forme A.exp(kt) et B.exp(kt),
on obtient dans la première équation B/A=(k+kf+r)/kb et dans la seconde B/A=kf/(k+kb+r)
On doit trouver la même chose : donc (k+kf+r)(k+kb+r)=kb.kf
C'est un trinome du second degré en k, dont les deux racines sont bien négatives si r est strictement positif
Ce qu'on peut confirmer par le calcul (niveau lycée mais un peu lourd à écrire)
Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
