Développement limité : Composition de fonctions

[SqrtNomis]

Bonjour à tous, je suis étudiant en mathématiques en première année, et les examens approchent à grands pas. Pour m'entraîner et être prêt, j'ai eu à disposition les examens d'années antérieures, et parmi ceux-là, j'en ai trouvé un qui contenait un exercice assez difficile (selon moi) que je n'arrive pas correctement à résoudre :

Je dois calculer le développement de Taylor d'ordre 3 en x=0 avec un reste exprimé en terme de petit o de la fonction définie par :


De toute évidence, calculer de façon brute de développement de cette fonction ne serait pas optimal, c'est pourquoi lors de séances d'exercices, lorsque nous faisions face à des fonctions un peu plus élaborées, nous (dé)composions.
Seulement voilà, ici on pourrait s'imaginer que


AND



Mais n'y a-t-il pas moyen de faire cela en moins d'étapes ? Egalement, dois-je vraiment calculer le DT de chaque fonction avant de recomposer ? En quelle valeur de x dois-je faire ces DT (je ne comprends pas bien pourquoi on change de valeur quelque fois lorsqu'on décompose) ?

Merci d'avance
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[gg0]

Bonjour.

Même avec cette méthode, tu vas avoir des soucis, à cause du cos dont l'argument est 1 quand x vaut 0. Ce qui fait que tu vas devoir faire soit un DL de cos en 1, soit écrire cos(a(x)) = cos((a(x)-1)+1)=cos(a(x)-1)cos(1)-sin(a(x)-1)sin(1) et faire encore 2 DL.
J'en viens à ma demander si cet exercice purement calculatoire ne se fait pas plus simplement en calculant les trois premières dérivées de f(x).
Le résultat est assez simple, puisque f étant paire, les coefficients de degré 1 et 3 sont nuls. Ce qui fait qu'on peut même se contenter de deux dérivées.

Bon travail !

[SqrtNomis]

Bonjour, je vais essayer de me contenter de dériver ma fonction comme il se doit, merci

[ansset]

à la réflexion ( ou plutôt après avoir essayé les deux démarches ) je trouve plus simple d'enchainer les DL.
car la deuxième dérivée , c'est quand même de l'huile de coude ....... ( et même il faut y mettre le "4 en 1" )
en utilisant bien sur ( obligé ) le cos(1+y)=cos(1)cos(y)-sin(1)sin(y)...
d'ailleurs le DL fait apparaitre des cos(1) et sin(1) partout.

[A voir en vidéo sur Futura]

[SqrtNomis]

Histoire d'être sûr, est-ce que c'est un exercice difficile ? Car franchement j'ai eu du mal à terminer l'exercice (avec les deux méthodes)...

[albanxiii]

Bonjour,

Difficile n'est peut-être pas le bon mot, puisqu'on a à disposition des méthodes systématiques de calcul. Donc, on applique, on fait les calculs et on arrive au résultat.
La difficulté réside plutôt dans l'aspect calculatoire de l'exercice, qui a l'air bien pénible.
Cela dit, il y a peut-être une astuce diabolique qui permet d'arriver au résultat sans se taper une ou deux pages de calculs... mais si gg0 et ansset ne l'ont pas vue...

[gg0]

Non,

je n'ai pas vu d'autre astuce que la parité. Et calculer la dérivée seconde en 0 doit aller assez vite. La dérivée est 2y'(x)y(x) avec y'(0)=0; donc la dérivée seconde est 2y"(x)+2y'(x)². En 0, il ne reste que 2y"(0). Et on continue.

Cordialement.

[eudea-panjclinne]

Remarque d'aucun intérêt de ma part.

[eudea-panjclinne]

Si on pose u=x^2 et qu'on fasse le développement de la nouvelle fonction en u la dérivée seconde est inutile, non ?

[gg0]

Bonjour Eudea-panjclinne.

Je ne vois pas pourquoi elle serait inutile. Pour avoir un DL à l'ordre 3, on a besoin d'un DL à l'ordre 2 en u; et comme la nouvelle fonction n'a pas de particularité, il faudra soit passer par les composés (méthode initiale de SqrtNomis), soit dériver 2 fois.

Mais si tu as un calcul simple, je veux bien voir ...

Cordialement.

[ansset]

ben vu le résultat, y'a forcement un peu de "calculatoire".


j'y arrive plus facilement en composant les DL.
on a facilement :
( en partant du DL de l'exp )
puis

avec
( il suffit du rang 2 ici car a est déjà un carré )
( qui suffit aussi )
en mettant au carré, on peut donc faire ensuite le DL de


pour le dénominateur le DL de
est facile.
que l'on multiplie ensuite.

[Tryss2]

Je me demande si la question n'était pas pensé à la base pour la fonction , ce qui serrai un poil moins pénible à traiter.

Parce qu'un DL du cosinus en 1, ça me semble suspect

[ansset]

effectivement, je n'y avais pas pensé, même si je trouvais l'exercice un peu sado-maso ...

[eudea-panjclinne]

Mais si tu as un calcul simple, je veux bien voir ...

On considère

DL à l'ordre 2 en 0:

On fait le changement de variable u=x^2:

ce qu'on peut écrire :

Seule la dérivée première de g suffit pour obtenir un DL de f en 0 à l'ordre 3.

[ansset]

Et moi, comme un c.., j'avais lu depuis le début à l'ordre 4....
faut qu'il change de lunette le vioque .

[gg0]

Effectivement,

c'est plus simple, et en plus, g est plus facile à dériver. Je suis vraiment passé à côté !

Cordialement.