Domaine de dérivabilité

[SqrtNomis]

Bonjour la mathosphère ! Ce soir en m'exerçant en analyse, j'ai découvert que je n'étais pas au point sur les domaines de dérivabilité... Voici les énoncés qui me posent problème :

1) Soit où est un paramètre réel.
Déterminez la/les valeur(s) de pour lesquelles f est dérivable en x=2017.

J'ai essayé de résoudre avec mais je ne parviens pas à simplifier...


2) Soit où . Montrez que f est dérivable sur .

Que faire dans ce cas ? Dois-je dériver et montrer que le domaine de g' est R ????


Merci d'avance.
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[albanxiii]

Bonjour,

Vous connaissez les théorèmes de base concernant la dérivabilité ainsi que les fonctions dont on sait qu'elles sont dérivables ?
Il suffit d'appliquer ici, n'est qu'un paramètre.

[gg0]

Une remarque pour le 2 : On ne peut dériver que sur le domaine de dérivabilité, donc inutile de dériver. Par contre, revoir un cours sur les dérivées des fonctions usuelles (et leurs conditions de dérivabilité) et les formules de dérivation des calculs permet de répondre facilement à cette question.

Cordialement.

[SqrtNomis]

Merci pour vos réponses,

Pour ce qui est des théorèmes, je connais bien sûr le théorème de la moyenne, le théorème de Rolle, le fait que la dérivée en un extremum appartenant au domaine de dérivabilité est nulle. Je connais également les liens entre dérivée/dérivée seconde et croissance/concavité, ...

Aussi, je connais et comprends parfaitement la définition de dérivée en terme de taux d'accroissement instantané. Il faut bien comprendre que la dérivée n'est pas une application vide de sens pour moi, je comprends bien ce que cela représente et je suis assez à l'aise avec les dérivées des fonctions usuelles... (Je suis également à l'aise avec la composition de fonctions et la dérivation d'une composée)

Cependant, même en m'indiquant ces notions, je ne comprends pas vraiment ce que je dois faire pour résoudre ces exercices.

Pour le 1er, je crois que je dois prouver que la limite de la définition de dérivée (taux d'accroissement) est définie, mais n'arrivant pas à simplifier correctement l'expression, je trouve toujours un cas (0/0) ... Aussi cela me paraîtrait contre-intuitif d'appliquer la règle de L'hospital (si ma mémoire est bonne) qui consiste à dériver chaque membre de l'expression.

Pour le 2ème, je ne vois pas vraiment le chemin de résolution, je ne connais pas vraiment la méthode magique à appliquer dans ce type d'exercice, dois-je prouver que la définition est vraie pour tout a et pour tout lambda ? Dois-je voir g comme une composée de fonctions et les décortiquer indépendamment ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

En pratique, la plupart des fonctions élémentaires sont dérivables sur leur domaine de définition (polynômes et fractions rationnelles, exp et ln, si, cos tan). En lycée seule la fonction racine carrée pose un problème de dérivabilité (en 0). On rencontre ensuite les racines n-ièmes et les fonctions trigonométriques "inverses".
Autrement dit, comme pour la continuité, si tu n'as qu'un calcul simple (addition, soustraction, multiplication, division, mise à une puissance constante, composition de fonctions) à partir des fonctions du secondaire, sans racine carré, tu sais que le domaine de dérivabilité est exactement le domaine de définition.

Donc pour le 1, utiliser la définition est non seulement inutile, mais absurde (une page de calculs basés sur les preuves habituelles des formules de dérivation). Tu sais que sin(x-2) est dérivable partout, et l'exponentielle aussi. Donc f est partout dérivable, donc dérivable en 2017.
Idem pour le 2.

La définition de la dérivée sert parfois, mais pas pour des cas "évidents" comme ceux-ci. Soit comme outil pour calculer des limites (on ramène une limite à un nombre dérivé), soit pour compléter des domaines de définition évidents : est, de façon évidente, dérivable pour tout x>0 (on ne peut pas faire mieux à cause de la racine carrée); reste dans le domaine de définition la valeur x=0, qu'on traitera par la définition. Et on trouve que f est dérivable sur tout son domaine de définition.

NB : Vu qu'on te demande de faire ces exercices, tu as sans doute dans ton cours une partie sur la dérivabilité des fonctions.

Cordialement.

[SqrtNomis]

D'accord je comprends mieux maintenant, merci pour votre patience