Sous-espace engendré

[invite949a348a]

Bonjour, j'ai du mal à comprendre le point 2) ci-dessous :

"Soit {v_1, ..., v_n} un ensemble fini d'un K-espace vectoriel E. Alors :

1) L'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs {v_1, ..., v_n} est un sous-espace vectoriel de E.

2) C'est le plus petit sous-espace vectoriel de E (au sens de l'inclusion) contenant les vecteurs v_1, ..., v_n."

Je suis ok avec la démonstration du point 1), mais même si je "sens" le 2), je ne parviens pas à le démontrer. Je suis gêné par l'expression "le plus petit sous espace vectoriel (au sens de l'inclusion)". Je lis une remarque qui ne m'éclaire pas beaucoup "Dire que vect{v_1, ..., v_n} est le plus petit sev de E contenant les vecteurs v_1, ..., v_n signifie que si F est un sev de E contenant aussi les vecteurs v_1, ..., v_n alors vect{v_1, ..., v_n} C F".

J'aimerais démontrer ce point 2) "proprement".
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[gg0]

Bonjour.

La remarque dit ce que veut dire "le plus petit sous espace vectoriel (au sens de l'inclusion)". Il te suffit donc de l'utiliser !!

En pratique, on démontre (E_n étant le sev défini au 1)
1) que E_n contient v_1, ..., v_n (quasi évident)
2) que tout sev qui contient v_1, ..., v_n est un sur-ensemble de E_n.

Cordialement.

[invite949a348a]

Merci gg0 pour la réponse.

Je ne comprends pas le point 2), notamment l'idée de sur-ensemble.

Est-ce possible de rédiger entièrement la démo du point 2) de mon message initial ?

[gg0]

A est un sur-ensemble de B si B est un sous-ensemble de A.

Ces questions sont très élémentaires, elles sont des mises en œuvre des définitions. Je veux bien corriger une rédaction que tu ferais, mais je ne vois pas l'intérêt de rédiger moi-même : ça ne t'apprendrait pas à faire des maths.

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite949a348a]

Tout sev qui contient v_1,..., v_n contient l'ensemble des combinaisons linéaires de ces vecteurs. Donc un tel sev contient (au moins) E_n et est donc un sur-ensemble de E_n.

[gg0]

Et voilà ! C'était simple (*).

Cordialement

(*) les maths s'écrivent simplement. La difficulté vient de la complexité des questions, ce qui peut nécessiter de bien choisir des notations.