Propriété de la borne supérieure

[mehdi_128]

Bonjour,

(1) Toute partie non vide et majorée de possède une borne supérieure.

(2) Toute partie non vide et minorée de possède une borne inférieure.

Je dois montrer que . Je ne comprends pas plusieurs points dans la démonstration du livre.

Soit une partie de non vide et minorée.

Posons : c'est-à-dire

Déjà je n'ai pas compris comment on passe de à

Si est un ensemble, que signifie ? Je n'ai jamais vu ça dans mon cours sur les ensembles.

Ensuite, je ne comprends pas pourquoi le fait que soit non vide entraîne que soit non vide.

Aussi je n'arrive pas à comprendre pourquoi si est minorée alors est majorée.
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[invite9dc7b526]

Déjà je n'ai pas compris comment on passe de à

Si est un ensemble, que signifie ? Je n'ai jamais vu ça dans mon cours sur les ensembles.

justement, on te donne la définition de -X : l'ensemble des -x, pour x dans X (sauf que bizarrement il est donné comme l'ensemble des x, pour -x dans X, mais c'est facile de voir que c'est la même chose).

[mehdi_128]

Merci. J'essaie la suite !



Montrons que est majorée c'est-à-dire qu'il existe un tel que :

est minorée donc

Or : donc

Posons : et . On a bien

On a montré que admet une borne supérieure .

est le plus petit des majorants de .

Je n'arrive pas à démontrer pourquoi est le plus petit des minorants de ....

[invite9dc7b526]

montre déjà que c'est un minorant.

[A voir en vidéo sur Futura]