Propriété de la borne supérieure

[Mocassins]

Bonjour,

Dans le cours de maths sup, on voit la construction des réels avec les suites de rationnels de Cauchy, et on évoque une alternative par les coupures de Dedekind. On admet aussi que R possède la propriété de la borne supérieure.

Cette année (MP), on est parti de ça pour montrer que R était complet, et c'est intéressant, mais ça fait encore plus ressentir le manque de démonstration de la propriété de la borne supérieure.

Tout cela m'intrigue beaucoup, dans un premier temps j'aimerais seulement comprendre pourquoi R possède cette fameuse propriété.

L'un d'entre vous connaitrait-il la démonstration pour l'une ou l'autre des constructions des réels? Notamment sans utiliser le fait que toute suite de Cauchy converge dans R ou alors en justifiant cet outil par la preuve, sans utiliser la propriété de la borne supérieure, du théorème des segments emboîtés en entier par exemple. (ce qui paraît peu probable)

Je précise que j'ai peu de notions de topologie donc pour l'instant seul le cas réel "me parle".
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[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour, avant de construire , il faut montrer qu'il n'existe (à isomorphisme de corps commutatif totalement ordonné (=c.c.t.o) ) qu'un seul c.c.t.o archimédien et complet. Ensuite, on fabrique - en quotientant l'ensemble des suites de Cauchy de par l'ensemble des suites convergentes vers 0 de - un corps commutatif totalement ordonné, archimédien et complet. On note donc, comme il est unique à isomorphisme près, le quotient suites de Cauchy de par l'ensemble des suites convergentes vers 0 de .

On démontre également qu'il y a équivalence entre les deux propositions suivantes pour un c.c.t.o :

- est archimédien et complet

- vérifie l'axiome de la borne supérieure.

On a donc que ce que l'on a noté [TEX\mathbb{R}[/TEX] est un c.c.t.o qui vérifie l'axiome de la borne supérieure.

Si je ne me trompe pas, voilà une méthode de construction de .

Donc en fait on peut considérer comme le seul c.c.t.o qui vérifie la borne supérieure ou qui soit archimédien et complet, ce sont des définitions équivalentes.

Contrairement à ce que tu as dit, pour construire les réels il ne faut surtout pas utiliser le fait que toute suite de Cauchy converge dans car cela n'a juste aucun sens, durant la construction est un modèle dont on essaye de montrer l'existence.

J'espère ne pas avoir dit de boulettes, et t'avoir un peu aidé.

RoBeRTo

[Mocassins]

Ah, je ne savais pas tout ça. Pour moi les réels étaient les classes d'équivalence pour la relation L portant sur les suites de Cauchy de rationnels, avec ALB si et seulement si An et Bn sont aussi proches que l'on veut pour n suffisamment grand.
Y a-t-il équivalence des définitions ou la mienne est simplifiée? A priori le lien entre la classe d'équivalence d'une suite de Cauchy pour L et celle de la suite de rationnels qui converge vers 0 n'est pas évident.
Je n'ai aucune idée des relations qu'il peut y avoir entre les cardinaux de l'ensemble des suites de Cauchy de rationnels et l'ensemble des suites de rationnels qui tendent vers 0 mais instinctivement j'ai l'impression qu'il y a un décalage qualitatif...
Quelle est la loi multiplicative considérée sur ces ensembles pour établir le quotient, U X V = (UnxVn)?

Enfin ça a l'air plus compliqué que je le croyais.
Du coup je me demande comment cette construction permet de montrer que ce corps est complet. je m'étais mis en tête, peut-être parce que je préfèrerais que ça soit le cas, qu'on commençait par montrer la propriété de la borne supérieure. Je suppose que par contraposée, on doit pouvoir montrer que grâce à l'existence d'une partie non vide majorée de R sans plus petit minorant, on peut construire une suite de Cauchy qui ne converge pas dans R.
Mais encore une fois, pourquoi R serait-il complet? Par quelle magie?

[RoBeRTo-BeNDeR]

En fait le quotient des suites de Cauchy par celle qui tendent vers 0, les classes sont en fait données par , ce qui peut se résumer en termes plus approximatif par U et V sont aussi proches l'une de l'autre que l'on veut, donc ce que tu avais.

La multiplication doit être définit comme ceci en effet.

En fait, dans ce vous avez montrer en classe, vous faite la démonstration de (2) => (1) dans le théorème que je te donnes avec les phrases équivalentes.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Mocassins]

C'est pas faux, merci

Effectivement, en classe on admet que R possède la propriété de la borne supérieure et on montre qu'il est complet. L'ennui c'est qu'on ne montre ni qu'il est complet par construction, ni qu'il possède la propriété de la borne supérieure. C'est un "trou" dans le programme qui est assez gênant vu l'importance de la chose. (enfin je ne dis pas qu'il faut tout démontrer, mais les trucs qui ne paraissent pas évidents, c'est bien de savoir de quelle caractéristique fondamentale ils découlent)

Merci pour les lumières en tout cas.

[RoBeRTo-BeNDeR]

Pour ma part en prépa je n'avais pas vu du tout la construction de |R, je ne l'ai vu à la fac que par les coupures, et je trouve que celle-ci est beaucoup compréhensible que par les suites de Cauchy.

RoBeRTo

[Tryss]

Pour ma part en prépa je n'avais pas vu du tout la construction de |R, je ne l'ai vu à la fac que par les coupures, et je trouve que celle-ci est beaucoup compréhensible que par les suites de Cauchy.

RoBeRTo

L'avantage de la construction par les suites de Cauchy, c'est que c'est une méthode générale pour compléter un espace métrique.


Les coupures, c'est bien sympa, mais c'est une méthode beaucoup moins généralisable (et définir les opérations dessus n'est pas si simple)

[Mocassins]

Peut-être, mais sans en savoir quoi que ce soit je pense que la complétude de cette construction est moins évidente à montrer.
De toute façon je doute que ça soit très utile pour la prépa une fois qu'on connait les grandes lignes.

En cherchant à droite à gauche j'ai trouvé deux documents qui prouvent la complétude de R.
L'un passe par un argument qui m'échappe totalement, dans la preuve qu'une suite de Cauchy de rationnels (après injection de Q dans R donc une suite de réels rationnels) converge bien vers le réel qu'elle représente. Plus précisément, je cite sans citer:

Soit a le réel représenté par (Un). (Un) est de Cauchy, donc soit e > 0 (on montre qu'il existe un e réel satisfaisant la condition de Cauchy à chaque fois qu'il existe un rationnel satisfaisant, par densité de Q dans R), il existe No dans |N tel que pour tout entiers n et p, n,p > No ==> |Un - Up| < e. (jusque là ça va )
Pour k > No fixé, la suite (Un) est comprise à partir du rang No entre (Uk + e) et (Uk - e) donc: (et c'est ce qui suit qui me pose problème)
|Un - a| < e

D'où sort ce a? Je suppose que si on a |Un - Uk| < e pour tout n et pour tout k alors éventuellement Uk peut être rendu très proche de a, mais... c'est pas justement ce qu'on veut montrer?
Le document est un papier d'une ENS bien construit et bien rigoureux (et pas trop calculatoire!) pour ce qui précède, il y a quand même peu de chances qu'ils aient bâclé la démo du lemme essentiel.

Heureusement, l'autre document présente une démonstration plus calculatoire probablement plus détaillée ou je ne sais quoi qui fait que je la comprends, donc j'ai ma réponse.

[Médiat]

Bonjour,

Tout cela m'intrigue beaucoup, dans un premier temps j'aimerais seulement comprendre pourquoi R possède cette fameuse propriété.

Pour montrer que la construction par les suites de Cauchy possède la propriété de la borne supérieure, c'est assez simple :

Soit , majoré.

Soit ( est non vide), un majorant (puisque est borné), et on construit deux suites de la façon suivante :

Si il existe , on pose et
Sinon, on pose et

Ces deux suites sont des suites de Cauchy ayant la même limite (facile à montrer) et c'est la borne sup (pas difficile non plus).

Le point important pour ces démonstrations c'est que et et

[Mocassins]

Si j'ai bien compris, à chaque étape i on utilise l'existence d'un réel a strictement supérieur à ui et dans S, construction grâce à laquelle on obtient les encadrements présentés. Seulement je ne vois pas comment montrer que les suites U et V convergent. D'ailleurs, sauf à utiliser un argument qui ait trait aux caractéristiques spécifiques du corps des réels, comment pourrait-on conclure?

[Médiat]

comment montrer que les suites U et V convergent.

Je me suis placé dans le cadre de la construction de IR par les suites de Cauchy, il suffit donc de montrer que ce suites sont de Cauchy.

[Mocassins]

Vous voulez dire qu'on admet à la base (ou on l'a montré précédemment) que R est complet? Si dans ce cas il y a un théorème qui montre qu'un complété est complet, je crois que ça ciblerait bien mon problème. L'autre démo que j'ai vue était assez technique mais spécifique aux réels et cette spécificité me gène moins que l'aspect technique qui fait que dans quelques semaines j'aurais oublié la moitié des arguments qui justifient la chose. De plus je n'arrive pas à en dégager un "principe fondamental" qui ait du sens et qui contienne l'information équivalente à la propriété de la borne supérieure.

En gros ce n'est pas la proposition (R complet archimédien <==> R possède la propriété de la borne supérieure/inférieure) qui m'intéresse, ce sont plutôt les propositions (R complet) ou (R possède la propriété de la borne supérieure).

Mais bon comme je l'ai dit j'ai trouvé une réponse plutôt satisfaisante en ce .pdf assez immonde. Donc merci à vous

[Médiat]

Avez-vous regardez les pdf des messages 4 et 6 de ce fil : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post3958138

[Mocassins]

Non, je ne les ai pas regardés (et il y a beaucoup à regarder!). Je vais tenter de me faufiler jusqu'à la complétude algébrique dans un premier temps. En ce moment je m'intéresse à la logique mathématique et je ne sais pas si je trouverai le temps cette année d'intégrer tout ça (tout en faisant autre chose que des maths de temps à autre)
Le travail a l'air formidable, à mon avis ça mériterait de se faire connaître.