Fonction bornée et suite

**mehdi_128** · 22/08/2019, 14h29

Bonjour,

Soit $\text{[math]}$ un intervalle de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ une fonction $\text{[math]}$ .
Soit $\text{[math]}$ une suite à valeurs dans $\text{[math]}$ telle que $\text{[math]}$

Je n'arrive pas à montrer le résultat suivant :

Si $\text{[math]}$ est bornée au voisinage de $\text{[math]}$ alors la suite $\text{[math]}$ est bornée.

Il faut montrer que $\text{[math]}$

**gg0** · 22/08/2019, 16h26

Il suffit de traduire correctement les deux hypothèses :
* $x_n \longrightarrow a$
* g est bornée au voisinage de a
Et de les relier avec l'idée assez intuitive : sauf un nombre fini de termes, la suite est au voisinage de a et donc ses images par g le sont aussi.

NB : Un ensemble fini de réels est borné.

**mehdi_128** · 22/08/2019, 16h43

Merci. J'ai une idée, pourriez-vous me dire si c'est correct ?

$\text{[math]}$ tend vers $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ est bornée au voisinage de $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$

Si on prend $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ . La suite $\text{[math]}$ est dans un voisinage de $\text{[math]}$ à partir d'un certain rang. Mais comme $\text{[math]}$ est bornée au voisinage de $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ est bornée au voisinage de $\text{[math]}$ à partir d'un certain rang.
Mais toute suite bornée à partir d'un certain rang est bornée. Donc $\text{[math]}$ est une suite bornée.

**gg0** · 22/08/2019, 16h44

Ça me semble correct.

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