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Peut-on faire apparaître le nombre e dans une figure géométrique ?



  1. #1
    andretou

    Peut-on faire apparaître le nombre e dans une figure géométrique ?

    Bonjour à tous
    Je me demande s'il existe une figure géométrique régulière dans laquelle apparaîtrait le nombre , de la même manière que apparaît dans un cercle, que apparaît dans un carré, ou que apparaît dans un triangle équilatéral ?
    Si non, est-il possible de démontrer que le nombre ne peut pas être présent dans une figure géométrique régulière quelle qu'elle soit ?
    Merci d'avance pour vos réponses

    -----

    Bon, le connaissable c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?

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  3. #2
    Dynamix

    Re : Peut-on faire apparaître le nombre e dans une figure géométrique ?

    Salut

    Une figure géométrique ne fait pas apparaître un nombre .
    C' est l' observateur qui fait apparaître un rapport à la suite d' une démarche plus ou moins compliqué .
    Pour pi , par exemple , il faut mesurer la circonférence , ce qui n' est pas tout simple .

  4. #3
    andretou

    Re : Peut-on faire apparaître le nombre e dans une figure géométrique ?

    Citation Envoyé par Dynamix Voir le message
    C' est l' observateur qui fait apparaître un rapport à la suite d' une démarche plus ou moins compliqué .
    L'école de Copenhague a-t-elle investi les mathématiques ?...
    Bon, le connaissable c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?

  5. #4
    Tryss2

    Re : Peut-on faire apparaître le nombre e dans une figure géométrique ?

    Sinon : Une spirale logarithmique doit pouvoir faire l'affaire

  6. #5
    stefjm

    Re : Peut-on faire apparaître le nombre e dans une figure géométrique ?

    Bonjour,
    On peut le faire aussi avec une hyperbole.
    https://forums.futura-sciences.com/m...ml#post5458345
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    andretou

    Re : Peut-on faire apparaître le nombre e dans une figure géométrique ?

    Citation Envoyé par stefjm Voir le message
    Bonjour,
    On peut le faire aussi avec une hyperbole.
    https://forums.futura-sciences.com/m...ml#post5458345
    Oui, mais je demande une figure géométrique régulière...
    Bon, le connaissable c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?

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  10. #7
    andretou

    Re : Peut-on faire apparaître le nombre e dans une figure géométrique ?

    Citation Envoyé par Tryss2 Voir le message
    Sinon : Une spirale logarithmique doit pouvoir faire l'affaire
    Pourrais-tu STP préciser ?
    Bon, le connaissable c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?

  11. #8
    azizovsky

    Re : Peut-on faire apparaître le nombre e dans une figure géométrique ?

    L'intersection de la droite: y=1 et la fonction ln(x) ou la droite: x=1 et la fonction exp(x) : https://www.piger-lesmaths.fr/foncti...r-lesmaths-fr/

  12. #9
    jacknicklaus

    Re : Peut-on faire apparaître le nombre e dans une figure géométrique ?

    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    Oui, mais je demande une figure géométrique régulière...
    Pourrais-tu STP préciser ?
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

  13. #10
    andretou

    Re : Peut-on faire apparaître le nombre e dans une figure géométrique ?

    Citation Envoyé par jacknicklaus Voir le message
    Pourrais-tu STP préciser ?
    Idéalement, une figure de dimension 2 ou 3 que l'on pourrait construire avec une règle et un compas, autrement dit une figure que Euclide aurait pu construire.
    L'aire sous la courbe de la fonction 1/x ne répond malheureusement pas à la question car cette aire est délimitée précisément par le nombre e que l'on introduit donc directement dans le graphe.
    Bon, le connaissable c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?

  14. #11
    Deedee81

    Re : Peut-on faire apparaître le nombre e dans une figure géométrique ?

    Salut,

    Qu'il y a des figures pouvant manifester des rapports comme e, c'est clair (voir ci-dessus). Qu'on puisse les construire à la règle et au compas, par contre, c'est nettement moins sûr. Déjà qu'on ne peut pas faire (en général) la trisection de l'angle à la règle et au compas !!!!! C'est un critère extrêmement restrictif. Reste à le vérifier ou mieux à le démontrer,.... ce n'est sûrement pas facile (ici la question n'est pas de savoir si e ou pi peuvent se construire ainsi, on sait déjà que, non, mais si la figure qui manifeste le rapport peut-l'être, le cercle oui, mais les cas avec e..... j'en doute. Mais qu'on n'hésite pas à me contredire si mon intuition me trompe (*)).

    (*) C'est possible car la construction avec 1/X est effectivement "à l'envers" mais il y a peut être moyen de.....
    Dernière modification par Deedee81 ; 05/09/2019 à 06h46.
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)

  15. #12
    minushabens

    Re : Peut-on faire apparaître le nombre e dans une figure géométrique ?

    Les longueurs des segments que l'on peut construire à la règle et au compas à partir d'un segment "étalon" de longueur 1 forment un sous-ensemble de l'ensemble des nombres algébriques, dont e ne fait pas partie.

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  17. #13
    Deedee81

    Re : Peut-on faire apparaître le nombre e dans une figure géométrique ?

    Citation Envoyé par minushabens Voir le message
    Les longueurs des segments que l'on peut construire à la règle et au compas à partir d'un segment "étalon" de longueur 1 forment un sous-ensemble de l'ensemble des nombres algébriques, dont e ne fait pas partie.
    Oui, idem pour pi. Mais on peut construire le cercle au compas (forcément) et sa circonférence est pi (pour un diamètre unité). Ce n'est pas la construction de pi à la règle et au compas mais la construction d'une figure avec un rapport pi, c'est différent mais plus facile. C'est ce que demande Andretou pour e. Je ne pense pas que ce soit possible (car bien que plus facile ça reste fort restrictif) mais ça reste à investiguer.
    Dernière modification par Deedee81 ; 05/09/2019 à 07h39.
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)

  18. #14
    minushabens

    Re : Peut-on faire apparaître le nombre e dans une figure géométrique ?

    Ok. Quand on parle de construction à la règle et au compas, le compas est l'instrument qui permet de reporter la longueur d'un segment sur une droite donnée (tracée à l'aide de la règle). Je n'avais pas pensé qu'on pouvait tracer un cercle avec le compas... Mais on ne peut pas mesurer la longueur du cercle, donc je ne pense pas qu'on puisse dire que pi est constructible (d'ailleurs il n'est pas vu comme tel)

  19. #15
    ansset

    Re : Peut-on faire apparaître le nombre e dans une figure géométrique ?

    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    Idéalement, une figure de dimension 2 ou 3 que l'on pourrait construire avec une règle et un compas, autrement dit une figure que Euclide aurait pu construire.
    A ce titre, même Pi ne se "construit" pas à la règle et au compas.
    Il apparait comme le rapport de deux valeurs ( circonférence/diamètre ou surface/carré du rayon ), mais la valeur elle même n'est pas mesurable. Comment mesurer cette circonférence par exemple.
    Dans cet esprit, certains exemple donné ci dessus me semble du même ordre, comme celui avec l'hyperbole.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  20. #16
    Deedee81

    Re : Peut-on faire apparaître le nombre e dans une figure géométrique ?

    Citation Envoyé par minushabens Voir le message
    Ok. Quand on parle de construction à la règle et au compas, le compas est l'instrument qui permet de reporter la longueur d'un segment sur une droite donnée (tracée à l'aide de la règle). Je n'avais pas pensé qu'on pouvait tracer un cercle avec le compas... Mais on ne peut pas mesurer la longueur du cercle, donc je ne pense pas qu'on puisse dire que pi est constructible (d'ailleurs il n'est pas vu comme tel)
    Non, en effet, mais j'insiste : ce n'est pas ce que demande Andretou. Ce quil demande est :
    - une figure géométrique où on aurait un rapport e (comme dans le cercle le rapport entre la circonférence et le diamètre est pi)
    - figure qu'on peut construire avec une règle et un compas (comme Euclide aurait pu le faire)
    Et pas "construire pi ou e avec une règle et un compas"

    Pourquoi répondre à une question........... qu'il ne pose pas ?????? Même remarque pour Anset. Andretou ne demande pas de construire "e" à la règle et au compas.
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)

  21. #17
    Tryss2

    Re : Peut-on faire apparaître le nombre e dans une figure géométrique ?

    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message
    Non, en effet, mais j'insiste : ce n'est pas ce que demande Andretou. Ce quil demande est :
    - une figure géométrique où on aurait un rapport e (comme dans le cercle le rapport entre la circonférence et le diamètre est pi)
    - figure qu'on peut construire avec une règle et un compas (comme Euclide aurait pu le faire)
    Et pas "construire pi ou e avec une règle et un compas"

    Pourquoi répondre à une question........... qu'il ne pose pas ?????? Même remarque pour Anset. Andretou ne demande pas de construire "e" à la règle et au compas.
    C'est quand même très lié. Avec une règle et un compas, on peut construire :
    - des segments de longueur un nombre constructible
    - des arcs de cercles d'angle dont le sinus est constructible

    Et c'est tout.

  22. #18
    andretou

    Re : Peut-on faire apparaître le nombre e dans une figure géométrique ?

    La construction d'une telle figure à la règle et au compas serait l'idéal, mais s'il apparaît qu'une coquille d'escargot ou toute autre figure géométrique naturelle contient le nombre e, je prends aussi !
    Sinon, pourrait-on éventuellement envisager une figure que l'on emboîterait indéfiniment à l'intérieur d'elle-même, de sorte que sa surface (ou une de ses dimensions) décroît de façon exponentielle ?
    Bon, le connaissable c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?

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  24. #19
    Deedee81

    Re : Peut-on faire apparaître le nombre e dans une figure géométrique ?

    Citation Envoyé par Tryss2 Voir le message
    C'est quand même très lié. Avec une règle et un compas, on peut construire :
    - des segments de longueur un nombre constructible
    - des arcs de cercles d'angle dont le sinus est constructible

    Et c'est tout.
    Exemple : le cercle.
    Et c'est bien ce qui est demandé (enfin, pour e, pas pour pi)


    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    La construction d'une telle figure à la règle et au compas serait l'idéal, mais s'il apparaît qu'une coquille d'escargot ou toute autre figure géométrique naturelle contient le nombre e, je prends aussi !
    Sinon, pourrait-on éventuellement envisager une figure que l'on emboîterait indéfiniment à l'intérieur d'elle-même, de sorte que sa surface (ou une de ses dimensions) décroît de façon exponentielle ?
    Bon, alors le cas 1/x convient. Tu construit la courbe. Tu coupe verticalement en x = 1 (notons le x1). Puis tu coupe verticalement (tu construits le points x2) de manière à avoir une surface égale à 1 (entre la courbe et la droite précédente).
    Et hop, on constate que le rapport x2/x1 est e. Barba truc.
    C'est bien ce que tu demandais, non ?
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)

  25. #20
    albanxiii

    Re : Peut-on faire apparaître le nombre e dans une figure géométrique ?

    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    Idéalement, une figure de dimension 2 ou 3 que l'on pourrait construire avec une règle et un compas, autrement dit une figure que Euclide aurait pu construire.
    Vous sous estimez Euclide, mais avec vous on a l'habitude.

    Pour votre question, en 1 minute chrono de recherche sur le net, on trouve que les nombres transcendants ne sont pas constructibles et que est un nombre transcendant.

    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message
    Non, en effet, mais j'insiste : ce n'est pas ce que demande Andretou. Ce quil demande est :
    ... un bel exemple de fluctuation aléatoire, car sa demande change en fonction des réponses apportées, selon son humeur ou je ne sais quoi.
    Dernière modification par albanxiii ; 05/09/2019 à 10h07.
    Not only is it not right, it's not even wrong!

  26. #21
    andretou

    Re : Peut-on faire apparaître le nombre e dans une figure géométrique ?

    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message
    Bon, alors le cas 1/x convient. Tu construit la courbe. Tu coupe verticalement en x = 1 (notons le x1). Puis tu coupe verticalement (tu construits le points x2) de manière à avoir une surface égale à 1 (entre la courbe et la droite précédente).
    Et hop, on constate que le rapport x2/x1 est e. Barba truc.
    C'est bien ce que tu demandais, non ?
    Théoriquement tu as raison, mais comment puis-je savoir que ladite surface est exactement égale à 1 si je ne connais pas préalablement la fonction logarithme népérien, donc la fonction exponentielle, donc le nombre e ?
    De ce fait, dans cette figure le nombre e n'apparaît pas "fortuitement" à la manière du nombre Pi dans un cercle, il apparaît parce qu'il y a été préalablement introduit.
    Bon, le connaissable c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?

  27. #22
    andretou

    Re : Peut-on faire apparaître le nombre e dans une figure géométrique ?

    Citation Envoyé par albanxiii Voir le message
    Pour votre question, en 1 minute chrono de recherche sur le net, on trouve que les nombres transcendants ne sont pas constructibles et que est un nombre transcendant.
    Magnifique ! Comment alors expliquer que Pi, qui est un nombre transcendant, se construit avec une règle et un compas ?
    Bon, le connaissable c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?

  28. #23
    minushabens

    Re : Peut-on faire apparaître le nombre e dans une figure géométrique ?

    ça a été dit plus haut: pi n'est pas réellement construit, au sens où on n'a pas construit un segment (donc quelque-chose qu'on sait mesurer) de longueur pi.

    il y a des constructions géométriques itératives, comme le flocon de Koch par exemple, qui conduisent à la limite à des rapports de longueurs où interviennent des logarithmes. Je suppose qu'en cherchant bien on doit pouvoir en trouver une où le nombre e intervient. Mais le passage à la limite n'est plus dans le domaine des constructions d'Euclide, qui sont toujours finies.

  29. #24
    minushabens

    Re : Peut-on faire apparaître le nombre e dans une figure géométrique ?

    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message
    Bon, alors le cas 1/x convient. Tu construit la courbe.
    mais comment construire cette courbe à la règle et au compas?

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  31. #25
    ansset

    Re : Peut-on faire apparaître le nombre e dans une figure géométrique ?

    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    Magnifique ! Comment alors expliquer que Pi, qui est un nombre transcendant, se construit avec une règle et un compas ?
    tu "sais" que le rapport entre la circonférence et le diamètre vaut pi.
    mais que nommes tu "construire" dans ce cas. ?????
    tu ne peux projeter d'une manière ou une autre la valeur de cette circonférence sur un axe pour en déduire un chiffre.
    c'est similaire avec la surface proposée plus haut.( mais inversé )

    à moins que tu ne dises que tu parcoures cette circonférence et que tu mesures le chemin parcouru.
    auquel cas on peut trouver un équivalent avec e. La surface étant la somme des surfaces infinitésimales....
    Dernière modification par ansset ; 05/09/2019 à 11h25.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  32. #26
    Deedee81

    Re : Peut-on faire apparaître le nombre e dans une figure géométrique ?

    EDIT croisement de la mort qui tue

    Citation Envoyé par andretou Voir le message
    Magnifique ! Comment alors expliquer que Pi, qui est un nombre transcendant, se construit avec une règle et un compas ?
    Ce n'est pas le cas, l'explication a été donnée.

    Tu confonds avec la construction du cercle (hé bien pour le coup, c'est moi qui avait mal compris ton incompréhension si je me fais bien comprendre , mea culpa et je m'excuse auprès des autres).

    La construction d'un nombre à la règle et au compas consiste à construire un segment de longueur égale à ce nombre (par rapport à un segment unité donné).
    En particulier il est impossible de construire (à la règle et au compas) un carré de circonférence ou d'aire identique à un cercle donné, justement parce que pi est transcendant.
    Dernière modification par Deedee81 ; 05/09/2019 à 11h28.
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)

  33. #27
    Deedee81

    Re : Peut-on faire apparaître le nombre e dans une figure géométrique ?

    Citation Envoyé par minushabens Voir le message
    mais comment construire cette courbe à la règle et au compas?
    Impossible. Il venait juste de dire qu'il acceptait d'aller au-delà de ce type de construction (avec le cas de la spirale).
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)

  34. #28
    Deedee81

    Re : Peut-on faire apparaître le nombre e dans une figure géométrique ?

    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message
    En particulier il est impossible de construire (à la règle et au compas) un carré de circonférence ou d'aire identique à un cercle donné, justement parce que pi est transcendant.
    Oublié de dire, c'est la quadrature du cercle. On trouve aussi le cas pour le cube et la sphère et la trisection de l'angle. Tous des vieux problèmes tombés grâce à la démonstration qu'on ne peut ainsi construire que des nombres algébriques.
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)

  35. #29
    andretou

    Re : Peut-on faire apparaître le nombre e dans une figure géométrique ?

    La question n'est pas de construire e mais de le faire apparaître dans une figure géométrique particulière, à la manière de ou de !

    Si une telle figure existe, alors je pense que Euclide aurait sans doute pu découvrir ce nombre...
    Bon, le connaissable c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?

  36. #30
    minushabens

    Re : Peut-on faire apparaître le nombre e dans une figure géométrique ?

    remarque que le nombre pi n'apparaît pas dans les Eléments.

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