Peut-on faire apparaître le nombre e dans une figure géométrique ?

[andretou]

remarque que le nombre pi n'apparaît pas dans les Eléments.

Très juste ! Est-ce parce qu'il avait l'intuition que Pi est irrationnel ?
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[Deedee81]

Si une telle figure existe, alors je pense que Euclide aurait sans doute pu découvrir ce nombre...

Ca ne veut pas dire pour ça qu'il aurait trouvé ce nombre particulièrement notable. Les particularités exceptionnelles de "e" se voient surtout dans des constructions algébriques ou analytiques.

[andretou]

Ca ne veut pas dire pour ça qu'il aurait trouvé ce nombre particulièrement notable. Les particularités exceptionnelles de "e" se voient surtout dans des constructions algébriques ou analytiques.

Sans doute. Il serait cependant amusant de savoir que le nombre e lui serait passé véritablement sous le nez...

[azizovsky]

on peut jouer avec et dans les formules suivantes : numérisation0001.pdf
numérisation0002.pdf, pour on doit avoir
.....

[invite51d17075]

Joli......

[AncMath]

Il est conjecturé, mais non su à l'heure actuelle, que e n'est pas une période. Donc la réponse à la question est "selon toute vraisemblance et toute définition raisonnable de "apparaitre" et de "figure géométrique, non" du moins conjecturalement.

[Deedee81]

Salut,

Il est conjecturé, mais non su à l'heure actuelle, que e n'est pas une période. Donc la réponse à la question est "selon toute vraisemblance et toute définition raisonnable de "apparaitre" et de "figure géométrique, non" du moins conjecturalement.

Excuse-moi, mais il y a deux choses que je ne comprend pas.
- C'est quoi "être une période" ???? (en tout cas ce n'est pas "non périodique" car ça ce n'est pas conjecturé)
- Et "non pour les figures géométriques".... alors que des exemples ont été donnés (spirale, hyperbole).
Tu peux préciser ?

[Médiat]

Salut,

- C'est quoi "être une période" ????

Ben alors,tu n'as pas lu mon document sur les ensembles de nombres ?

Une Période est un nombre complexe dont la partie réelle et la partie imaginaire sont de la forme :

Où l'intégrale est absolument convergente, et est une partie de définie par des inéquations polynomiales à coefficients algébriques. L'ensemble des Périodes est donc dénombrables.

Une définition équivalente :

Où l'intégrale est absolument convergente, et est une partie de définie par des inéquations polynomiales à coefficients rationnels et une fraction rationnelle à coefficients rationnels.

Le deuxième point est lié à la définition précédente (le coup de la spirale logarithmique est du même tonneau que si je construisais e à partir de la droite d'équation y = e.x)

[Deedee81]

Ben alors,tu n'as pas lu mon document sur les ensembles de nombres ?

Pas en profondeur

Houlà d'accord, c'est pas trivial et j'ai bien fait de poser la question. Merci

Le deuxième point est lié à la définition précédente (le coup de la spirale logarithmique est du même tonneau que si je construisais e à partir de la droite d'équation y = e.x)

Idem pour l'hyperbole. D'accord, merci.

[azizovsky]

c'est pas trivial.

https://youtu.be/gG1wxAImQng?t=2262

ou simplement, "une intégrale d'une forme fermée sur un lacet". d'après : https://math.unice.fr/~dumitres/Saint-Gervais.pdf

[AncMath]

Pas en profondeur

Houlà d'accord, c'est pas trivial et j'ai bien fait de poser la question. Merci

La définition est tout ce qu'il y a de plus trivial, mais les outils pour les étudier ne le sont en général pas.

C'est très relié à ce qu'on appelle l'algèbre des periodes motiviques, dont on pense qu'elle est la même chose que la vraie algèbres de périodes (c'est a conjecture des periodes de Grothendieck), mais sur lesquelles on sait dire beaucoup plus de choses (et qui sont à la base de toutes les structres conjecturées sur les périodes, notamment celle d'algèbre de Hopf), mais bien sur on ne sait pas démontrer qu'elle est isomorphe à l'algèbre des périodes.

Idem pour l'hyperbole. D'accord, merci.

L'hyperbole est bien une courbe algébrique, mais aucun de ses "segments" a extrémité rationnelle n'a pour longueur e ou ne délimite une aire de e.

[andretou]

Il est conjecturé, mais non su à l'heure actuelle, que e n'est pas une période. Donc la réponse à la question est "selon toute vraisemblance et toute définition raisonnable de "apparaitre" et de "figure géométrique, non" du moins conjecturalement.

Est-ce à dire que :
- si jamais on découvrait une figure géométrique dans laquelle apparaîtrait le nombre e, la conjecture que e n'est pas une période serait invalidée ?
- est donc quant à lui une période ?

[AncMath]

Ca veut dire quoi apparaître? Ca veut dire quoi figure géométrique? Ce que l'on pense c'est que e n'est jamais l'intégrale d'une forme différentielle algébrique sur un domaine semi-algébrique (délimité par des inéquations algébriques). En particulier ce ne sera jamais une aire, longueur, volume etc... d'un domaine défini par des équations algébriques (à coefficients rationnels).

Oui, est un période c'est l'aire d'un disque de rayon 1.

[Deedee81]

La définition est tout ce qu'il y a de plus trivial, mais les outils pour les étudier ne le sont en général pas.

Oui, c'est ce que je voulais dire.

Et Grothendieck, c'est plusieurs nébuleuses au-dessus de ma pt'tit tête (enfin grosse, mais ça c'est uniquement si je veux mettre un chapeau ).
Et de fait j'ai pas mal étudié les algèbres (dont les algèbres de von Neumann, forcément, choix de physicien ) mais pas celle de Hopf plutôt liée il me semble à la topologie algébrique (arggggh, je me suis "arrêté" à la topologie différentielle et je trouve déjà ça costaud).

EDIT suite au croisement et par curiosité, concernant cette conjecture il y a déjà des avancées ? Sent-on la ligne d'arrivée ou cela semble-t-il encore lointain (appréciation forcément subjective évidemment) ?

L'hyperbole est bien une courbe algébrique, mais aucun de ses "segments" a extrémité rationnelle n'a pour longueur e ou ne délimite une aire de e.

En effet, dans le lien ci-dessus ils disaient "coupons par une droite verticale x=e", où comment trouver e en introduisant e

[AncMath]

Oui, c'est ce que je voulais dire.

Et Grothendieck, c'est plusieurs nébuleuses au-dessus de ma pt'tit tête (enfin grosse, mais ça c'est uniquement si je veux mettre un chapeau ).
Et de fait j'ai pas mal étudié les algèbres (dont les algèbres de von Neumann, forcément, choix de physicien ) mais pas celle de Hopf plutôt liée il me semble à la topologie algébrique (arggggh, je me suis "arrêté" à la topologie différentielle et je trouve déjà ça costaud).

Les algèbres de Hopf interviennent un peu partout, c'est une structure tres versatile. C'est simplement une structure duale à celle de groupe (algébrique). Mais c'est un objet tres different de celle d'algèbre de Von Neumann, qui elle est essentiellement duale à celle d'espace mesuré (enfin dans le cas commutatif).

La structure d’algèbre de Hopf sur l'algèbre de periodes motiviques est subtile et n'est véritablement comprise que sur des "morceaux" de celle-ci.

suite au croisement et par curiosité, concernant cette conjecture il y a déjà des avancées ? Sent-on la ligne d'arrivée ou cela semble-t-il encore lointain (appréciation forcément subjective évidemment) ?

La conjecture des périodes est totalement hors de portée actuellement. Ca veut pas dire qu'il y a pas des progrès enormes dans le domaine, en particulier suite au travaux de Brown, on comprend beaucoup mieux la structure de l'algèbre de multizetas motivique et de sa réalisation géométrique. Il y a eu des progrès spectaculaires ces dernières années.

En effet, dans le lien ci-dessus ils disaient "coupons par une droite verticale x=e", où comment trouver e en introduisant e

Je rajoute aussi le fait que les grecs, y compris Euclide connaissaient bien les coniques (et donc l'hyperbole), si les coniques s'appellent coniques et pas quadratiques ou quadriques, c'est d'ailleurs à cause d'eux, puisqu'ils les concevaient comme les sections planes d'un cône. Une hyperbole est la section d'un cône par un plan parallèle à son axe.

[Deedee81]

D'accord, merci pour ces explications.

Donc on peut dire que la réponse à Andretou est :
conjecture : non.


Pas satisfaisant, mais faute de Grive on mange de Merles.

Je rajoute aussi le fait que les grecs, y compris Euclide connaissaient bien les coniques (et donc l'hyperbole), si les coniques s'appellent coniques et pas quadratiques ou quadriques, c'est d'ailleurs à cause d'eux, puisqu'ils les concevaient comme les sections planes d'un cône. Une hyperbole est la section d'un cône par un plan parallèle à son axe.

Ah oui, c'est vrai tiens, je n'y pensais plus.

[azizovsky]

Il y'a :

https://www.wolframalpha.com/input/?...hx%2B1%29%29dx

[Deedee81]

Il y'a

Les fonctions hyperboliques ont "e" dans leur définition. La figure correspondante ferait donc intervenir "e", et donc pas étonnant qu'on trouve "e"

[Médiat]

Il y'a :

Il y a plus simple : , mais une fois de plus on obtient e après avoir introduit e à la main

[andretou]

Il y a plus simple : , mais une fois de plus on obtient e après avoir introduit e à la main

Bonjour Médiat
Voulez-vous dire
?

[Deedee81]

Il y a plus simple

Et en plus ça marche avec n'importe quel nombre. Ca y est conjecture invalidée

[andretou]

Sorry, en effet :
!

[Médiat]

Ouupppps, trop tard

[Deedee81]

Mieux encore.

La conjecture concerne les équations algébriques et donc les figures algébriques.
Or 1=1 est une relation algébrique.
On multiplie et donc : e=e.
Barbatruc, on obtient un segment qui dans les unités appropriées à la longueur "e". Gagné.


Excusez-moi pour cette petite plaisanterie raz des pâquerettes, c'est vendredi. Bon week-end à tous et à Andretou en particulier, qu'il évite de rêver de chiffres

[azizovsky]

Oups, le temps de préparer à manger vous êtes défouler, Grothendieck a raison, il y'a les bâtisseurs et les gardiens de la bâtisse...., en tous cas rien avoir avec ce que je chercher à exprimer ....

[azizovsky]

c'est après un changement de l'idée, j'ai posé: coh(t)=x et y=sih(t)=V(x²-1) avec x²-y²=1......,j'avais un int (x+1+V(x²-1))....., mais dommage

[andretou]

Bon week-end à tous et à Andretou en particulier, qu'il évite de rêver de chiffres

Très bon week end à tous !
Donc, si j'ai bien compris, si la conjecture sur la non-période de "e" est vraie, alors il est impossible de déduire "e" à partir d'une figure géométrique euclidienne quelle qu'elle soit (c'est-à-dire une figure que Euclide aurait pu construire ou observer)...
C'est quand même extraordinaire qu'un nombre aussi fondamental que "e" soit exclu d'un pan entier des mathématiques, en l'occurrence la géométrie !
Et tu crois peut-être qu'avec ça je vais passer un bon week end ?...

[invite9dc7b526]

C'est quand même extraordinaire qu'un nombre aussi fondamental que "e" soit exclu d'un pan entier des mathématiques, en l'occurrence la géométrie !

la géomérie d'Euclide. Mais bien des choses ont changé depuis Euclide...

[andretou]

D'après vous, est-ce que cette image fait apparaître la fonction 1/x ou la fonction exponentielle ? Ou une autre fonction ?
Cette image est extraite de cette video à 3m19s : https://www.youtube.com/watch?v=Q3oItpVa9fs

[invite452d5a24]

Bonjour,

La question n'est pas de construire e mais de le faire apparaître dans une figure géométrique particulière, à la manière de ou de !

Deedee t'a répondu :

Bon, alors le cas 1/x convient. Tu construit la courbe. Tu coupe verticalement en x = 1 (notons le x1). Puis tu coupe verticalement (tu construits le points x2) de manière à avoir une surface égale à 1 (entre la courbe et la droite précédente).
Et hop, on constate que le rapport x2/x1 est e. Barba truc.
C'est bien ce que tu demandais, non ?

A moins que tu ne t'autorises, que la règle et le compas, mais même Euclide s'autoriser l'étude des coniques et l'hyperbole est une conique particulière.

Bonne journée.