Démontrer qu'une proposition est fausse

[LostBoi]

Bonjour,

On parle souvent de proposition vraies et indémontrables mais je voudrais m'intéresser aux propositions fausses. Peut-on toujours démontrer qu'une proposition est fausse en mathématiques?

Il me semble que la réponse est oui puisque si la proposition est fausse, il existe un contre-exemple ou même avec un raisonnement par l'absurde on arrivera à une contradiction. Ainsi, toute proposition fausse est "démontrablement" fausse (ou juste falsifiable). On pourrait donc utiliser cette propriété pour dire que les propositions indémontrables sont forcément vraies?


Bonus:
https://www.youtube.com/watch?v=82jO...68057688909025

Cette vidéo semble dire que la falsifiabilité ne va pas de soi et que le théorème de Godel s'applique aussi pour la falsification des propositions fausses ce qui m'a interpellé et poussé à venir poser la question.

Merci d'avoir pris le temps de lire.
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[Superbenji]

Bonjour,

Il me semble que la réponse est oui puisque si la proposition est fausse, il existe un contre-exemple ou même avec un raisonnement par l'absurde on arrivera à une contradiction.

Ce à quoi tu pense est vrai pour une proposition par exemple de la forme Tout les entiers x vérifie la propriété P(x). Si la proposition est fausse (dans le modèle considéré) il suffit en effet de trouver un contre exemple et c'est une démonstration de sa fausseté. Mais par exemple il existe une infinité d'entiers x vérifiant P(x) pourrais très bien ne pas être démontrable ni son contraire (dans la théorie considérée).

On parle souvent de proposition vraies et indémontrables

Grande prudence avec cette manière de dire les choses. Quand on entend "vrai et indémontrable", c'est sous-entendu vrai dans le modèle standard, ou usuel dans lequel on raisonne. Et indémontrable dans la théorie dans laquelle on se place. Une proposition est soit vraie soit fausse, relativement à un modèle. Et soit démontrable soit indémontrable, relativement à une théorie. Si ni la proposition ni son contraire ne sont démontrable dans la théorie, alors elle est indécidable dans cette théorie.

[Médiat]

Bonjour,

On parle souvent de proposition vraies et indémontrables

A tort, au mieux c'est un abus de langage inacceptable.

mais je voudrais m'intéresser aux propositions fausses. Peut-on toujours démontrer qu'une proposition est fausse en mathématiques?

Démontrer qu'une proposition est vraie démontre automatiquement que son contraire est faux (et vice versa)

On pourrait donc utiliser cette propriété pour dire que les propositions indémontrables sont forcément vraies?

Non, vos arguments ne sont pas valides et cela serait en contradiction flagrante avec le théorème de complétude de Gödel.


Il me semble qu'une fois de plus l'usage non raisonné du vocabulaire vrai/faux est dangereux (être platonicien serait donc pire qu'une simple position philosophique …)

[Médiat]

Une précision qui explique peut-être la confusion : Si T est une théorie ayant un modèle premier, alors toute formule indécidable purement universelle de T est vraie dans ce modèle premier (et par conséquent toute formule indécidable purement existentielle de T est fausse dans ce modèle premier)

[A voir en vidéo sur Futura]

[andretou]

Une précision qui explique peut-être la confusion : Si T est une théorie ayant un modèle premier, alors toute formule indécidable purement universelle de T est vraie dans ce modèle premier (et par conséquent toute formule indécidable purement existentielle de T est fausse dans ce modèle premier)

Bonjour Médiat
Pouvez-vous SVP rappeler la différence entre une théorie et un modèle premier ?
Avez-vous éventuellement un exemple ?

[albanxiii]

rappeler

Mouhahahaha !! parce que vous l'avez su un jour peut-être ?
C'est pas gentil de vouloir faire perdre son temps à Médiat.

[andretou]

Mouhahahaha !! parce que vous l'avez su un jour peut-être ?
C'est pas gentil de vouloir faire perdre son temps à Médiat.

Si vous savez quelle est la différence, pourquoi ne pas l'avoir simplement expliquée ?

[Médiat]

Bonjour,

Avez-vous éventuellement un exemple ?

Par exemple, la clôture algébrique de est le modèle premier de la théorie des corps algébriquement clos de caractéristique 0

[andretou]

Merci.
Auriez-vous également un exemple de modèle premier de l'arithmétique ?

[Médiat]

Merci.
Auriez-vous également un exemple de modèle premier de l'arithmétique ?

Oui : IN (sous réserve de consistance)