Convexité de la fonction tangente

[henryallen]

Bonjour,

Je suis tombé sur un exercice demandant de démontrer que, si x, y et z sont dans , alors (donc un cas particulier de la convexité de la fonction tangente sur [0; pi/2[, cependant sans aucune notion de convexité, avec simplement les connaissances de base sur les fonctions trigonométriques).

Cependant je n'y parviens pas. J'ai tenté diverses méthodes, uniquement par les formules d'addition de la tangente (en cherchant à me retrouver avec, dans les deux membres, tan(x/3), de même avec y et z), ou bien par le sinus et le cosinus, sans succès.

J'ai donc essayé de me rabattre sur une variable de moins, en montrant dans le même intervalle que , ce que j'ai réussi à faire par plusieurs résultats intermédiaires (en étudiant la convexité/concavité de sin et cos sur certains intervalles, et en utilisant l'inégalité arithmético-géométrique pour n = 2). Cependant je n'arrive ni à adapter la méthode avec trois variables, ni à utiliser cette inégalité là pour l'appliquer à trois variables.

Si vous pouviez donc m'aider en me lançant sur une piste, je vous en serais reconnaissant.

Merci d'avance,
Bonne journée
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[pilum2019]

mais il faut utiliser la convexité ou pas ?
Parce qu'avec la notion de convexité c'est rapide.

[henryallen]

Désolé, je peux comprendre que mon message ne soit pas clair à ce niveau-là. Non, on ne peut pas, sinon je reconnais que les choses auraient été plus simples.

Quand je parlais de concavité/convexité de sin et cos, je voulais juste dire que j'avais établi certaines inégalités particulières (avec des 1/2), mais rien de plus. Pour faire simple, on ne sait rien de la convexité.

[pilum2019]

Oui, on peut trouver une démonstration, sans convexité, que tan((x+y)/2) <= (tan(x)+tan(y))/2.

La bonne nouvelle est que cela entraine automatiquement que tan((tx+(1-t)y)) <= t tan(x)+ (1-t) tan(y), pour tout t dans [ 0 ; 1], car tan est une fonction continue sur l'intervalle considéré.
Après un coup de l'inégalité de Jensen et tu retrouve ton inégalité avec 3 variables.
Tout ceci utilise des techniques de convexité mais à aucun moment tu n'utilises directement le fait que la fonction Tan est convexe (même si on peut tiquer sur l'utilisation de Jensen).

[A voir en vidéo sur Futura]

[henryallen]

Merci pour la réponse,

Le problème est que cet exercice est censé être résolu(ble) seulement avec des connaissances limitées, disons de bachelier de terminale s à peine plus approfondies ...

[pilum2019]

Ok alors tu démontre d'abord que tan ((a+b+c+d)/4) <= (tan a + tan b + tan c + tan d)/4 (e4)
C'est facile à partir de ce que tu as déjà démontré avec deux variables;

Ensuite pour démontrer que tan ((a+b+c)/3) <= (tan a + tan b + tan c )/3 tu remplaces dans (E4) d par une combinaison linéaire de a,b, et c. je te la laisse trouver;
C'est de la terminale.

[henryallen]

Passer par le cas 4 pour arriver au 3, c’est intéressant ... Merci beaucoup, j’ai réussi.

Bonne journée