devoir maison

[chloe4559]

Bonjour,

je suis en première année de licence de maths physique chimie et j'ai un dm de maths à rendre.

Il y a un exercice où je bloque un peu, pourriez vous m'aider svp ? j'aimerais surtout avoir la méthode.

Énoncé:

soit (a_n) et (b_n les uites réelles défnies par:

a_n+1= (a_n+b_n)/2 et 1/b_n+1= 1/2*(1/a_n+1/b_n)

avec bien sur quelque soit n appartenant aux entiers naturels.
on donne a₀=1 et b₀=2

1) calculer a₁, a₂, b₁, b₂
2) montrer que l'on a pour tout n appartenant aux entiers naturels a_n>0 et b_n>0
3)...

alors j'ai réussi la première question, j'ai trouvé une expression de b_n+1 en fonction de a_n et b_n
seulement je bloque pour la question 2
je pensais faire quelque chose par récurrence sauf que que se soit avec a_n ou b_n je me retrouve systématiquement coincée

help me please

cordialement
Chloé Guillaume
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[maatty]

Bonjour,
effectivement, une récurrence classique marche très bien; il faut montrer "en bloc" la propriété :
Si tu bloques n'est-ce pas plutôt un problème avec le raisonnement par récurrence en lui-même?

[chloe4559]

merci de votre réponse,

je ne vois pas comment faire étant donnée que (an) dépend de (bn) et inversement

non a priori la récurrence ne me pose pas de soucis d'habitude

[gg0]

Ben justement, Maaty te propose de faire les deux en même temps.

Et fais attention à ce que tu écris, a_n ne dépend pas de b_n, mais de a_n-1 et b_n-1.

Donc mets en œuvre la démonstration par récurrence que te propose Maaty.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[chloe4559]

mais je ne vois pas ce qu'est une double démonstration par récurrence ? Enfin comment faire les deux en mêmes temps ?

[maatty]

Ce n'est pas une double démonstration, le truc c'est de ne pas chercher à démontrer puis séparément (comme tu le fais remarquer les deux suites sont imbriquées) mais en même temps

Il n'y a qu'une récurrence

[maatty]

Démontre par récurrence la propriété définie pour tout n par:


Complète les pointillés:

Initialisation..........
Hypothèse de récurrence: Supposons........
Alors.......

[chloe4559]

Initialisation:

P_n: a_n>0 et b_n>0

Hérédité:

supposons que pour tout n appartenant aux entiers naturels on a P_n: a_n>0 et b_n>0
montrons que P_n+1: a_n+1>0 et b_n+1>0

conclusion:

P_n: a_n>0 et b_n>0

voila mais le truc c'est que je ne vois pas comment prouver les eux en même temps enfin je veux dire dans la même récurrence ?

[chloe4559]

euh désolé j'ai fait la ligne proposition pour initialisation

ducout

initialisation: pour n=0

a₀=1
b₀=2
on a donc bien a₀>0 et b₀>0
donc la proposition P_n es vraie pour n=0

[maatty]

C'est correct pour l'initialisation.
Attention pour l'hypothèse de récurrence: si tu dis supposons que c'est vrai pour tout n, alors il n'y a plus rien à montrer (puisque tu affirmes que c'est toujours vrai).
Non, on suppose qu'il existe UN entier n tel que est vraie (i e ) et on montre que cela marche pour n+1
l'hérédité est alors immédiate: et donc .....
je te laisse finir et faire de même pour .

Ps: tu as peut-être interêt à revoir quand même un peu la récurrence

[chloe4559]

ca y'est je crois que j'ai enfin compris!!!

comme a_n>0 et b_n>0 alors forcément (a_n+b_n)/2 est forcément plus grand que 0
ainsi on a bien a_n+1>0

de même :

j'ai trouvé que b_n+1= (2a_nb_n)/(a_n+b_n)

et la pareil j'ai a_n>0 et b_n>0
donc 2a_nb_n>0 et a_n+b_n>0
donc b_n+1>0
et voilà !!!

merci beaucoup pour votre précieuse aide !!
bonne soirée

[chloe4559]

j'ai une dernière petite question je dois montrer que (a_n) est convergente et que (b_n) aussi. Pour (b_n) c'est facile car dans une des questions j'ai du prouver que (b_n) est décroissante et donc comme elle est minorée par 0 alors elle converge. Mais pour a_n dans une question précédente j'ai du prouver que a_n<b_n: est ce que je peux dire que a_n est majorée par b_n ? je ne suis pas vraiment sure de ça (car j'ai aussi du montrer que a_n est croissante).

[fartassette]

j'ai une dernière petite question je dois montrer que (a_n) est convergente et que (b_n) aussi. Pour (b_n) c'est facile car dans une des questions j'ai du prouver que (b_n) est décroissante et donc comme elle est minorée par 0 alors elle converge. Mais pour a_n dans une question précédente j'ai du prouver que a_n<b_n: est ce que je peux dire que a_n est majorée par b_n ? je ne suis pas vraiment sure de ça (car j'ai aussi du montrer que a_n est croissante).

Attention à la preuve à mon avis c 'est plutôt le contraire. ( comparaison entre la moyenne arithmétique et harmonique si tu connais)

Pour tout



conséquence: .



Du coup ,tu dois revoir la monotonie de ces suites.

En ce qui concerne la récurrence, tu peux prendre cet exemple de raisonnement ou pas. Certains étudiants aime bien détailler l'hérédité, alors qu'on peut parfois aller directement au but.




Pour l'hérédité: On peut si tu le souhaites raccourcir le raisonnement :


et tu conclus :

[maatty]

Non, attention, () majorée signifie qu'il existe M tel que pour tout n,() ; M ne dépend pas de n (sinon on pourrait dire que tout est majoré; par exemple la suite n'est pas majorée (elle tend vers l'infini) mais on a pour tout n où .

Tu as raison il faut utiliser () mais également le fait que est décroissante
si tu arrives à majorer (pas trop dur) c'est gagné

[chloe4559]

fartassette désolé mais dans mon énoncé c'est bien a_n<b_n

[chloe4559]

ah oui dans ce cas si je trouve un majorant de b_n, alors comme on a a_n<b_n dans ce cas a_n est majorée par la même majorant que b_n.

Et j'ai trouvé que b_n est majorée par b₀=2 ?

[gg0]

Oui, cette fois-ci, c'est correct; Enfin ... ce serait le cas si on avant bien pour tout n et la suite croissante et la suite décroissante.
Malheureusement, avec les premiers termes, on voit tout de suite que et que la suite semble croissante à partir de et la suite décroissante à partir de . Ce que justifie le message de Fartassette.
N'y aurait-il pas une inversion entre les lettres a et b dans ton message #1 ?? Car alors tout serait comme tu le dis.

Cordialement.

[ansset]

On a :


Donc :

donc la convergence d'une suite entraîne la convergence de l'autre.
mais par ailleurs, je ne sais comment tu montres que b_n est décroissante.
car elle ne l'est pas au début
b₁<b₀ mais b₂>b₁
reste à la fin à trouver les valeurs de convergence ( en fait c'est la même )

[ansset]

ps : et plutôt que de chercher la convergence d'une des suites ( via croissance ou décroissance ), il me semble plus simple de montrer que :
a(n)-b(n) tend vers 0.
comme les suites sont > 0 et que les produits a(n)b(n) sont constants, on en déduit tout le reste.

[chloe4559]

bah pour ma 3ème question j'ai on pose u_n=a[SUB]n[/SUBb_n. Déterminer la relation de récurrence vérifiée par la suite (u_n). En déduire l'expression générale de u_n pour tout n appartenant aux entiers naturels.

j'ai trouvé u_n+1=(a_n²b_n+ a_nb_n²)/a_n+b_n

ensuite j'ai pas encore exprimer u_n en fonction de n

4)Montrer par récurrence que a_n<b_n pour tout n appartenant aux entiers naturels
c'est la que je ne comprends pas parce que comme vous dites a₁>b₁

ensuite vous m'avez demandé comment j'ai montré que b_n est décroissante et bien j'ai fait b_n+1-b_n et j'ai étudié le signe du résultat.

[jacknicklaus]

4)Montrer par récurrence que a_n<b_n pour tout n appartenant aux entiers naturels
c'est la que je ne comprends pas ...

il est clair depuis le message #13 que c'est une erreur d'énoncé.

[ansset]

j'ai trouvé u_n+1=(a_n²b_n+ a_nb_n²)/a_n+b_n
ensuite j'ai pas encore exprimer u_n en fonction de n

m'enfin !!
a_n²b_n+a_nb_n²=a_nb_n(a_n+b_n) donc
u_n+1=a_nb_n(a_n+b_n)/(a_n+b_n)=a_nb_n=u_n

c'est "ballot" , c'était justement une remarque de mon mess précédent.

[ansset]

ensuite vous m'avez demandé comment j'ai montré que b_n est décroissante et bien j'ai fait b_n+1-b_n et j'ai étudié le signe du résultat.

je suis curieux.
par tableur, on a
b0=2 ; b1<b2 ; b3>b2 ; b4>b3.
et on est déjà trop prêt de la limite.

[fartassette]

Bonjour,

Pour revenir rapidement sur la convergence de ces suites .Le fait que on pourra facilement déduire de l'étude de monotonie que Donc une est minorée par .. et l'autre majoré par .. Donc d'après le théorème de la limite monotone convergent respectivement vers ."On pourrait même aller plus loin en affirmant que mais ce n 'est pas la question.


Cet exercice met en lumière l'inégalité des moyennes et plus précisément la comparaison MA/MH d 'ailleurs si on définit par exemple On aura la suite d'inégalités suivantes

[ansset]

On peut aussi montrer que tend vers 0.
donc

et pour n non nul

d'où

[chloe4559]

merci pour toutes vos réponses, je revois ça avec le prof demain

j'ai pas tout compris à vos réponses mais je vais essayer d'y retravailler

[chloe4559]

Bon résultat des courses:

il y avait bien une erreur d'énoncé: on a bien quelque soit n appartenant aux entiers naturels privé de 0 a_n>b_n
Ducout j'ai bien réussi à prouver ça.

Maintenant comme on me demande d'étudier la monotonie des suites et que (a_n) est d'abord croissante puis décroissante et que (b_n) est d'abord décroissante puis croissante d'après les premiers termes, je ne vois pas quoi faire.

car on a a₀=1, a₁=1,5 , a₃=1,42...
et b₀=2 , b₁=1,3333 , b₃=1,41

d'autre part, comment puis-je exprimer U_n=a_nb_n sachant que je ne peux pas exprimer a_n et b_n en fonction de n.

[chloe4559]

si a priori c'est tout à fait la question puisque la dernière question de l'exercice est : montrer qu'elles admettent la même limite que l'on déterminera

[ansset]

Ducout j'ai bien réussi à prouver ça.

Maintenant comme on me demande d'étudier la monotonie des suites et que (a_n) est d'abord croissante puis décroissante et que (b_n) est d'abord décroissante puis croissante d'après les premiers termes, je ne vois pas quoi faire.

car on a a₀=1, a₁=1,5 , a₃=1,42...
et b₀=2 , b₁=1,3333 , b₃=1,41

d'autre part, comment puis-je exprimer U_n=a_nb_n sachant que je ne peux pas exprimer a_n et b_n en fonction de n.

donc tu as déjà a_n>b_n à partir du rang 1
b_n+1=2a_nb_n/(a_n+b_n)
donc
b_n+1/b_n=2a_n/(a_n+b_n)
comme a_n>b_{n ;} a_n+b_n < 2a_n donc 1/( a_n+bn) > 2a_n
b_n+1/b_n > 2a_n/2a_n =1
donc b_n est croissante après le rang 1
raisonnement du même type pour a_n.

concernant le fait que a_n+1b_n+1=a_nb_n , cela a déjà été vu plus haut dans le fil.

[chloe4559]

Ah oui, c'est vrai que l'on fait toujours b_n+1-b_n pour savoir le sens de variation d'une suite mais que l'on peut également faire le rapport des deux merci !

Mais je ne vois pas le rapport entre U_n+1=U_n et exprimer u_n en fonction de n