Encadrement de l'erreur d'un développement limité

[iPhysics]

Bonjour, en refaisant de la matière de première année afin de me perfectionner dans celle-ci, j'ai revu les bases mathématiques qui me sont nécessaires. Et voilà qu'entre développement de Taylor à n variables, les intégrales de flux et autres formules à rallonge, me voilà à m'arracher les cheveux sur un exercice tout simple.

On demande d'encadrer l'erreur sur l'intervalle d'un développement de Taylor d'ordre 2 de la fonction en l'abscisse .

On trouve assez facilement (je ne pense pas me tromper) :



où est le reste et vaut

Pour borner, on suppose (ou si ) : ,


Tout d'abord, vu que l'erreur doit être calculée entre 16 et 18, je regarde quand est-ce que est maximisé, on se rend compte rapidement que c'est en x=18, donc ce membre a une valeur maximale de 1000. Ainsi,


Plus qu'à trouver M. En calculant, on trouve que .

Ainsi, au plus c est petit dans les réels strictement positifs, au plus la valeur de cette dérivée est grande. Naturellement, sur notre intervalle , nous allons donc prendre c=8 afin que la valeur de M soit la plus grande possible et d'être convaincu que notre erreur est bornée convenablement. Ainsi,

.

Dit comme ça, ça fait un peu grand, bien que souvent, la borne fixée n'est pas atteinte. Mais c'est vrai que l'intervalle semble relativement loin du point de départ en abscisse a=8... Et en vérifiant rapidement avec x=18, on trouve que l'erreur en ce point vaut environ 0.482.

J'aimerais une explication, si bien sûr le coeur vous en dit et en vous remerciant d'avance !
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[Verdurin]

Bonjour,
il y a une erreur dans ton calcul du développement.

[iPhysics]

En effet, au temps pour moi. En analysant plus attentivement (et le lendemain donc avec du recul), je me suis rendu compte qu’en faisait le développement limité j’ai écrit et que en recopiant au moment de vérifier un peu l’erreur, le facteur 1/2 ait été oublié, ainsi que je l’ai oublié en écrivant ce post puisque je le recopiais depuis la dernière équation de ma feuille qui omettait ledit facteur.

Post un peu inutile car tout ce brol pour une faute un peu stupide, mais merci de la réponse !