Limite de fonction et encadrement

[Seirios]

Bonjour à tous,

Dans un exercice, j'ai trouvé quelque chose qui me génait dans l'énoncé, mais j'aimerais être certain de ce que j'avance :

Le but des premières questions de l'exercice est de trouver un encadrement d'une fonction pour tout . Ensuite, on demande d'étudier la limite de cette fonction en zéro.

Ce qui me gène, c'est que pour étudier , il faut également étudier , ce qui ne peut pas être le cas ici par la restriction du domaine de validité de l'inégalité, et vu l'expression de la fonction, je ne pense pas que l'on nous demande de déterminer d'une autre manière le cas où .

Ma question est donc la suivante : Peut-on réellement conclure, grâce à l'encadrement, sur ?

Je suis presque persuadé que non, mais j'aimerais simplement avoir une confirmation.

Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?

Merci d'avance
Phys2
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[invite787dfb08]

Ce qui me gène, c'est que pour étudier , il faut également étudier

Tu veux dire dans ton exemple ou alors dans le cas générale. Peux tu donner l'énnoncé ?

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[invitea250c65c]

Salut Phys2,

Tu as à mon avis raison, on ne peut pas directement conclure (on ne peut même pas conclur du tout) : il s'agit probablement d'un abus de langage : dans la mesure où f n'est définie que pour des valeurs positives, il est sous entendu quand on parle de la limite en 0 qu'il s'agit de la limite à droite. On dit par exemple que la limite de la fonction racine en 0 est 0, en toute rigueur il faudrait parler de la limite à droite.
De même, si on choisit , on dira par abus de language que f'(0)=0 alors qu'en fait c'est la dérivée à droite de f en 0 qui vaut 0, mais dans la mesure ou la dérivée à gauche n'existe pas, pas de confusion possible (cependant, f n'est pas dérivable en 0 au sens classique du terme mais elle est dérivable à droite en 0).

J'espère avoir pu t'aider .

A+

[invite890931c6]

sauf que pour la dérivé en n'existe pas ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

De manière plus précise, il s'agit de montrer que (j'abrège) , puis d'étudier la limite en zéro de . Je veux bien conclure , mais pas de manière générale sur la limite en zéro.

Je pense pas que cela soit un abus de langage, parce que la fonction serait ici tout à fait définie, donc conclure sur la limite en zéro serait davantage une erreur de raisonnement.

Finalement, je pense qu'il faudrait faire une extension de l'inégalité pour , en remplaçant dans l'inégalité x par -x (et en inversant les symboles bien sûr).

[invitea250c65c]

Sauf que pour la dérivée en n'existe pas ?

Si elle existe bien qu'elle n'existe pas pour . Pour t'en convaincre utilise la définition du nombre dérivé. (comme je l'ai indiqué dans mon message précédent, quand je parle de dérivée ici il s'agit évidemment de dérivée à droite).

Je pense pas que cela soit un abus de langage, parce que la fonction serait ici tout à fait définie, donc conclure sur la limite en zéro serait davantage une erreur de raisonnement.

En effet s'il ne t'est pas dit que ta fonction n'est que sur , on est bien d'accord, je pensais dans mon message précédent qu'elle n'était définie que sur .

Finalement, je pense qu'il faudrait faire une extension de l'inégalité pour , en remplaçant dans l'inégalité x par -x (et en inversant les symboles bien sûr).

C'est ça. On ne peut en effet pas directement conclure.

[invite02e16773]

Bonjour,

Finalement, je pense qu'il faudrait faire une extension de l'inégalité pour , en remplaçant dans l'inégalité x par -x (et en inversant les symboles bien sûr).

Je suis d'accord avec ça. C'est ce que j'aurais fait.
On doit aussi pouvoir dire : f(0+)=0. Comme f est impaire, f(0-)=-f(0+)=0 donc f(0)=0.

[invite890931c6]

effectivement la dérivé de existe ! mais comment ça se fait puisque si on dérive normalement on trouve bien :

? et donc serait une valeur interdite ?

[invite02e16773]

Parce que ce résultat n'est vrai que sur , dans la mesure où tu as utilisé des théorèmes de dérivabilité sur pour justifier ce calcul.
Le fait que 0 soit une "valeur interdite" n'indique rien sur la dérivabilité en 0.

[invitea250c65c]

effectivement la dérivé de existe ! mais comment ça se fait puisque si on dérive normalement on trouve bien :

? et donc serait une valeur interdite ?

L'erreur est ici : on ne peut pas dériver "normalement" : ton théorème te dit que si u et v sont dérivables, uv est dérivable et (uv)'=u'v+v'u ... . Mais ici ton v n'est pas dériable (en 0) : on ne peut donc pas appliquer le théorème. Mais ca ne veut pas dire pour autant que uv n'est pas dérivable, ca veut juste dire qu'on ne peut pas utiliser le théorème.
Pour savoir, pas le choix (au lycée), définition du nombre dérivé.

(Tu remarqueras d'ailleur ton expression converge bien vers 0 en 0, mais conclure avec tes arguments que pour autant f est dérivable en 0 et que f'(0)=0 est faux. Le fait que 0 soit une valeur interite est tout à fait normal : on prend la limite du taux d'accroissement.)

Edit : grillé par Guillaume69

[invite890931c6]

un petit théorème qui aurait sa place au lycée je pense c'est le théorème de l'hôpital. Sans ça on est obligé de faire des calculs inutiles et fastidieux, mais bon faut bien que les profs fassent des DS sur quelque choses

[invite02e16773]

Ici, c'est plutôt le théorème limite de la dérivée qu'il faudrait pouvoir utiliser, pas besoin de l'Hôpital.

Ca doit être la première fois que c'est moi qui ne me fait pas doubler...

[Seirios]

Alors c'est bien ce que je pensais ; merci pour vos réponses