Bonjour,
si j'en crois Wikipédia, un espace hermitien est un espace vectoriel sur le corps commutatif des complexes de dimension finie. Or dans mon cours on prend comme exemple d'espace hermitien l'espace l2ℂ la suite des nombres complexes de carré sommable qui est de dimension infinie, n'y a t-il pas là un abus de définition? On devrait plutôt parler d'espace préhilbertien?
Merci pour vos réponses.
La question est : est-ce que l'espace l² est complet ou non ? Il faut regarder dans le cours...
Salut,
J'espère ne pas dire de bêtise mais :
- j'ai cherché un peu partout et toutes les définitions que j'ai vue parlait d'espace de dimension finie. Donc il me semble bien oui qu'il y a un abus et qu'on devrait plutôt parler de préhilbertien.
- Pilum, complet ou non ça c'est plutôt pour savoir si c'est un espace de Hilbert
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
pour moi un espace hermitien est un C-espace vectoriel muni d'une forme hermitienne, il n'y pas de restriction sur la dimension.
J'ai vu la restriction un peu partout, mais avec google, j'ignore si c'est général ni même si les liens de google sont les plus pertinents.Envoyé par minushabens
Mais si c'est éventuellement de dimension infinie.... quelle est la distinction avec les espaces préhilbertiens ? C'est la même chose ou il y a une subtilité qui m'échappe ?
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Hilbert c'est pas une forme bilinéaire?
Ah oui, si, j'ai compris. Merci,
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Préhilbertien = muni de la forme bilinéaire (sesquilinéaire pour être précis) mais l'espace n'est pas forcément complet.
S'il est complet, alors c'est un espace hilbertien.
Il me semble que les formes sesquilinéaires ne sont pas des cas particuliers des formes bilinéaires, bilinéaires=linéaires par rapport aux deux variables, sesquilinéaire=linéaire par rapport à la première variable et antilinéaire par rapport à la seconde variable.
D'après wikipedia, l'espace de Hilbert est un espace vectoriel complexe ou réel muni d'un produit scalaire complexe (hermitien donc sesquilinéaire) ou réel (bilinéaire) de dimension quelconque (complet par rapport à la norme dérivant du produit scalaire).
Je pense que ce qui est dit dans mon cours est effectivement abusif et qu'un espace hermitien se doit d'être de dimension finie.
Du coup pour résumer on peut dire qu'un espace euclidien est un cas particulier d'espace hermitien lui même cas particulier d'un espace de Hilbert, non?
Independemment de la terminologie : il faut comprendre qu'il y a les espaces reels munis d'une forme bilineaire symetrique definie positive, et les espaces complexes munis d'une forme sesquilineaire definie positive. Et que dans chaque cas, l'espace peut etre comnplet ou non (toujours complet en dimension finie, et en dimension infinie ca depend des cas). Ensuite il est possible que la terminologie dans chaque cas differe legerement selon les auteurs.
Dernière modification par syborgg ; 08/10/2019 à 13h19.
