Points fixes du groupe affine

[invitef303ea6c]

Bonsoir camarades,

Voici la question qu'on me pose.

Soit G un sous-groupe fini du groupe A(R^2) (groupe affine)
1. Montrer qu’il existe un point P du plan R^2 qui est fixé par G au sens que pour tout g ∈ G on a g(P) = P.
2. Est-ce que ce point est unique ?

Ce que je cherche, il me semble, c'est le stabilisateur de G. S'agit-il du barycentre?
À première vue, il n'existe aucun point fixe car une translations peut amener un point vers n'importe quel autre point...
Avez-vous une piste?

Merci beaucoup!
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[Seirios]

Bonjour,

Si tu prends un point quelconque du plan alors l'orbite est un ensemble fini -invariant. Tu peux alors regarder son barycentre et voir ce qui se passe.

Par contre, ne peut pas contenir de translation : une translation est un élément d'ordre infini alors que est supposé fini. Pour savoir si le point fixe est unique, regarde des exemples simples de sous-groupes finis.