manipulabilité des nombres incalculables

[invite6c250b59]

Bonjour,

Suite à un échange avec mmy, on aurait besoin d'un coup de main des matheux sur la manipulabilité des nombres incalculables, tel le nombre omega de Chaitin

Qu'appelles-tu "non manipulable"?

Faire des prédictions avec.

Même si on ne connaît pas les décimales d'un nombre comme Pi, on peut répondre à la question "quelle est la n-ième" pour tout n. Qui plus est cela se décrit avec un algorithme dont la description est finie. Le symbole contient d'une certaine manière cet algorithme.

(..)

S'il existe un nombre réel non compressible, par définition il n'existe pas d'algorithme de longueur finie permettant d'ssocier à n la n-ième décimale.

Si la prédiction de quelque chose dépend de ce nombre, le mettre sous forme symbolique est bien sûr possible, mais trompeur, car le symbole ne contient rien qui permette de traduire la prédiction en quelque chose de mesurable, de testable.

(..)

Dire que l'on peut "manipuler" le nombre sous forme symbolique est une arnaque, parce que le symbole est une coquille vide. Je préfère le voir comme "non manipulable". (..) on ne peut pas l'entrer dans quelque chose qui ait un sens.

A partir du moment où un nombre est défini, comme omega qui est incalculable mais parfaitement défini, alors il me semble qu'on peut imaginer jouer avec.

Par exemple on pourrait définir un omega1 construit non pas sur la condition d'arrêt des MT, mais sur la condition d'arrêt des MT avec oracle, puis un omega2 en introduisant des oracles de second niveau, etc. tous ces omegas sont alors parfaitment défini mais toujours incalculables.

Est-il alors impossible de répondre à des questions "manipulant" les omega, par exemple omega=?omega1, ou encore est-ce que l'ensemble des réels non calculables correspond à l'ensemble des omega?

Ces dernières questions vous semblent-elles parfaîtement impossible à répondre, et si oui est-ce qu'il existe une preuve de cela?

Merci d'avance pour la prise de tête
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[invite6de5f0ac]

Bonjour,

Ce que tu dis est parfaitement raisonnable. Sauf qu'on écrit Aleph plutôt que Oméga, mais tout y est.
Avec l'analyse non-standard on manipule couramment ce genre de nombres (on fait la différence entre "illimité" qui est fini, et "infini"). Mais il n'est pas nécessaire de passer par là. Je crois que déjà Leibniz s'était posé ce genre de questions.

-- françois

Bonjour,

Ce que tu dis est parfaitement raisonnable. Sauf qu'on écrit Aleph plutôt que Oméga, mais tout y est.
Avec l'analyse non-standard on manipule couramment ce genre de nombres (on fait la différence entre "illimité" qui est fini, et "infini"). Mais il n'est pas nécessaire de passer par là. Je crois que déjà Leibniz s'était posé ce genre de questions.

-- françois

Salut fderwelt

oméga s'emploie pour les ordinaux
aleph pour les cardinaux

Il n'y a pas d'oméga pour les réels (ensemble qui ne remplit pas les conditions de l'ordre total)
le cardinal pour les réels serait aleph 1... mais aleph est est inaccessible à partir d'aleph 0:

l'hypothèse du continu est indémontrable (Cohen 1960)

[invite6de5f0ac]

oméga s'emploie pour les ordinaux
aleph pour les cardinaux

Rebonjour,

Au temps pour moi. C'est vrai que je mélange un peu les deux, mais bon, je ne peux pas tout connaître...

-- françois

[A voir en vidéo sur Futura]

Désolé Jiav

je viens seulement de voir que tu parlais de l'omega de Chaitin ... sorry

Rebonjour,

Au temps pour moi. C'est vrai que je mélange un peu les deux, mais bon, je ne peux pas tout connaître...

-- françois

Et bien toi comme moi avons été victimes d'une certaine ambiguïté (sinon t'avais raison pour les nombres non standards)... mon propos était inappropié... (confidence pour confidence, moi non plus je ne sais pas tout... mais je m'en voudrait de paraphraser un grand philosophe grec)

[invite4793db90]

Salut,

Est-il alors impossible de répondre à des questions "manipulant" les omega, par exemple omega=?omega1,

Faute de connaissances, tu m'excuseras de donner plus mon sentiment sur la question qu'une réponse fermée...

Je pense qu'il n'y a pas d'obstruction à comparer (au sens de l'égalité) deux nombres non calculables, pourvu qu'ils soient bien définis. En effet, dans le corps des nombres calculables, l'identité de deux nombres se démontrent quasiment jamais en considérant leurs développement décimales, mais plutôt en mettant en relation leurs propriétés ou caractéristiques. Pour prendre un exemple concret, les nombres et sont tout à fait calculables, mais c'est l'analyse (il existe au bas mot une douzaine de démonstrations différentes) qui permet d'établir l'identité entre les deux. En aucun cas les développements décimaux interviennent, sinon sur le plan heuristique : Euler avait calculé les 20 premières décimales de la série et avait « deviné » le résultat...
Pour résumer le point de vue , deux nombres qui vérifient une même propriété caractéristique sont égaux.

Les choses se compliquent à mon avis pour une comparaison d'ordre (inégalité) qui donnera, ou pour laquelle il faudra, des informations sur le développement décimal.

ou encore est-ce que l'ensemble des réels non calculables correspond à l'ensemble des omega?

Euh... Pour des raisons de cardinaux, l'ensemble des nombres non calculables étant non dénombrable, il faudrait que ta suite des omega filent vers les ordinaux transfinis... Donc je dirais non.

Cordialement.

[invite6c250b59]

Un peu ou très en retard: merci tout le monde