Etude de la convergeance d'une fonction

[invite5087e29d]

Bonjour, c'est la première fois où j'ai affaire à ce genre de problème.

Il s'agit de l'intégrale S((1 + 1/x)^(1 + 1/x) - a - b/x)dx entre 1 et l'infini

On doit déterminer sa convergeance en fonctiond es réels a et b

Vers 1, il n'y a pas de problème, l'intégrale converge vers -a -b (faut-il que -a -b>0 ?)

vers + l'infini, l'intégrale est assimilable à l'intégrale S1/(x)^n avec n>1

Elle tend vers -a donc pour a>0 ou a<0 l'intégrale diverge car il y a une aire sous la courbe infinie

Elle est seulement convergeante pour a=0

Est-ce la bonne forme de raisonnement à tenir ?

Aussi, je ne vois pas en fonction de quel b l'intégrale serait définie ou non..

Merci beaucoup pour votre aide !!
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[gg0]

S'agit-il vraiment de


Dans ce cas, il n'y a pas de problème en 1 simplement parce que la fonction à intégrer est continue sur , donc la borne 1 est une borne d'intégrale simple.
Attention à ce que tu écris : "Vers 1, il n'y a pas de problème, l'intégrale converge vers -a -b" ??? Ce n'est pas l'intégrale qui converge, c'est l'intégrande (la fonction) qui a une limite, sa valeur puisqu'elle est continue
Autre question : "(faut-il que -a -b>0 ?)" ?? Pourquoi poser cette question ? Tu as déjà intégré des fonction négatives, non ???

Pour la borne , je ne comprends pas ce que tu racontes (je ne sais pas ce que veut dire "assimilable"). Et en tout cas, la réponse n'est pas ce que tu dis. Tu sembles sauter pas mal d'étapes, avec ton "assimilable".

Bon travail !

NB : pas de a dans convergence et convergente.

[invite5087e29d]

Merci Pour votre réponse et désolé pour le a.

C'est bien l'expression que je traite.

Il s'agit de montrer la convergence des intégrales : voir si elles sont finies.

Dans le cours et les exercices, on cherche toujours à se rapprocher d'une forme 1/x^n car on connait bien la convergence de son intégrale vers les valeurs limites 0 et +l'infini en fonction de n :
si n<1 alors l'intégrale converge vers 0
si n>1 alors l'inégrale converge vers + l'infini

Donc quand x tend vers l'infini, (1+1/x)^(1+1/x) la fonction tend vers 1 - a, or l'intégrale est convergeante seulement si la fonction tend vers zero en plus l'infini à la manière de 1/x^n avec n>0. Si n<0 la courbe ne tend "pas assez vite" vers 0 et elle diverge et si 1-a, le réel vers lequel elle tend est différent de zéro alors il y a une aire sous la courbe infini donc l'intégrale diverge.

Voilà comment j'ai basé mon raisonnement

[gg0]

Alors il va falloir vraiment traiter la limite à l'infini de l'intégrande. Et la condition sur a n'est pas a=0.

Cordialement.

NB : Il n'y a pas que les 1/x^n qui servent, les exponentielles d'exposant négatif sont aussi utiles.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5087e29d]

Non, je disais 1 - a = 0 donc a=1

On peut aussi écrire (1 + 1/x)^(1 + 1/x)= exp((1+1/x)*ln(1+1/x)) mais cela revient au même, cette expression tend vers 1 également si x tend ers l'infini, non ?

[gg0]

Oui.

Donc une fois rectifiée l'erreur de ton premier message (relis-le), vois ce qui se passe avec a=0.
Attention, dire que le premier terme tend vers 1 ne suffira pas, il va falloir faire un développement asymptotique.

Bon travail !

[invite5087e29d]

En effet, merci de me l'avoir fait remarquer !

Je vais tâcher d'étoffer mon étude, merci encore.

Il reste cependant un mystère pour la condition sur b... Je ne vois pas vraiment ce que la question suggère à ce propos.

[invite5087e29d]

Je pense que c'est parce que la fonction est décroissante et que si en 1, la fonction est égale à 0, alors elle a une aire sous la courbe négative et infinie. C'est l'impression que j'en ai intuitivement.

[gg0]

Au lieu d'imaginer ce qui pourrait se passer, fais le travail !
Et il n'y a pas de problème en 1, pourquoi en reparles-tu ?

Comment s'écrit l'intégrale pour a=0; à quoi est équivalente la fonction à intégrer en +oo ? A quelle condition l'intégrale diverge-telle ? et si on n'a pas cette condition (sur b), y a-t-il convergence.

On peut t'aider dans tes calculs, mais c'est à toi de les faire ...